Chủ đề này có 7 trả lời

[Oral1020]

SỞ GD & ĐT BÌNH PHƯỚC                                  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

                                                                                   NĂM HỌC 2012-2013

                                                                                        Đề thi môn:Toán

                                                                                    Ngày thi : 2/4/2013

                                                                       Thời gian:150 phút (không kể phát đề)

Câu 1:(5 điểm)

1.Cho biểu thức $M=(\dfrac{2x \sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{x \sqrt{x}-1}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1})\dfrac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-1}$

a.Tìm $x$ để $M$ có nghĩa.Rút gọn $M$.

b.Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $M$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của $M$.

2.Cho $0 \le a \le b \le 1$.Chứng minh $ab^2-a^2b \le \dfrac{1}{4}$.Đẳng thức xảy ra khi nào?.

Câu 2:(5 điểm)

1.Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

2.Cho parabol $(P):y=\dfrac{1}{4}x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx-2m-1$ (m là tham số)

a.Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với parobol $(P)$

b.Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm $A$ cố định thuộc parabol (p)

Câu 3:(5 điểm )

Cho nữa đường thẳng $(O,R)$ đường kính $AB$.Điểm M di chuyển trên nữa đường thẳng song song với $MB$ cắt tiếp tuyến tại $M$ ở $C$ và cắt tiếp tuyến $B$ ở $N$.Chứng minh:

a)Tam giác CDN cân

b)AC là tiếp tuyến của nữa đường tròng $(P)$ và tích $AC.BD$ không đổi.

b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác COD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên tiếp tuyến $Ax$ của nữa đường tròng $(O)$ (với C khác A).

Câu 4.(2 điểm )

Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông.Chứng minh $S_{ABCD} \le \dfrac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)$

Câu 5:(3 điểm )

1.Chứng minh rằng:Nếu $m$ chia hết cho $2$ thì $(m^3+20m)$ chia hết cho 48,mới m là một số nguyên.

2.Tìm số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $x^3+2x^2+3x+2=y^3$

[L Lawliet]

Câu 5 phần phương trình nghiệm nguyên xem tại đây.

[Anh Vinh]

Câu 1 ý 2 : http://diendantoanho...-a2bleq-frac14/

[Tienanh tx]

Câu 4: 

$\oplus$ Gọi $E,F,G$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $MQ,MP,NP$

$\oplus$ Ta có:$\Delta{AMQ}$ vuông tại $A$ có $AE$ là đường trung tuyến nên $AE=\dfrac{MQ}{2}$

$\Longrightarrow MQ=2AE$

Mặt khác $EF,FG$ lần lượt là đường trung bình của các tam giác $MPQ,NPM$ $\Longrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}PQ=2EF& \\ MN=2FG & \end{matrix}\right.$

$\Longrightarrow$ $P_{MNPQ}=MN+NP+PQ+MQ=2(AE+EF+FG+GC) \ge 2AC$

$\oplus$ Ta có:

$MN+NP+PQ+QM\geq 2AC$

$\Longleftrightarrow \frac{1}{4}.AC.(MN+NP+PQ+QM)\geq 2AC.\frac{1}{4}.AC$

$\Longleftrightarrow \frac{AC}{4}.(MN+NP+PQ+QM)\geq S_{ABCD}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 21-04-2013 - 17:22

[Tienanh tx]

SỞ GD & ĐT BÌNH PHƯỚC                                  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

                                                                                   NĂM HỌC 2012-2013

                                                                                        Đề thi môn:Toán

                                                                                    Ngày thi : 2/4/2013

                                                                       Thời gian:150 phút (không kể phát đề)

Câu 1:(5 điểm)

1.Cho biểu thức $M=(\dfrac{2x \sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{x \sqrt{x}-1}-\dfrac{x+\sqrt{x}}{x-1})\dfrac{x-1}{2x+\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x}-1}$

a.Tìm $x$ để $M$ có nghĩa.Rút gọn $M$.

b.Với giá trị nào của $x$ thì biểu thức $M$ đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của $M$.

2.Cho $0 \le a \le b \le 1$.Chứng minh $ab^2-a^2b \le \dfrac{1}{4}$.Đẳng thức xảy ra khi nào?.

Câu 2:(5 điểm)

1.Giải phương trình $\sqrt{x+1}-1=\sqrt{x-\sqrt{x+8}}$

2.Cho parabol $(P):y=\dfrac{1}{4}x^2$ và đường thẳng $(d):y=mx-2m-1$ (m là tham số)

a.Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ tiếp xúc với parobol $(P)$

b.Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm $A$ cố định thuộc parabol (p)

Câu 3:(5 điểm )

Cho nữa đường thẳng $(O,R)$ đường kính $AB$.Điểm M di chuyển trên nữa đường thẳng song song với $MB$ cắt tiếp tuyến tại $M$ ở $C$ và cắt tiếp tuyến $B$ ở $N$.Chứng minh:

a)Tam giác CDN cân

b)AC là tiếp tuyến của nữa đường tròng $(P)$ và tích $AC.BD$ không đổi.

b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác COD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên tiếp tuyến $Ax$ của nữa đường tròng $(O)$ (với C khác A).

Câu 4.(2 điểm )

Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông.Chứng minh $S_{ABCD} \le \dfrac{AC}{4}(MN+NP+PQ+QM)$

Câu 5:(3 điểm )

1.Chứng minh rằng:Nếu $m$ chia hết cho $2$ thì $(m^3+20m)$ chia hết cho 48,mới m là một số nguyên.

2.Tìm số nguyên $x,y$ thỏa mãn phương trình $x^3+2x^2+3x+2=y^3$

Bài 5:

1.

$\oplus$ Với $m = 2k$ $\Longrightarrow$  $(2k)^3 + 20.2k = 8k^3 + 40k = 8k(k^2 + 5)$
$\oplus$ Ta cần chứng minh $8k(k^2 + 5)  \vdots 48$ hay $k(k^2+5) \vdots 6$

$\oplus$ $\cdot$ Với $k$ chẵn $\Longrightarrow$ $k(k^2+5) \vdots 2$

    $\cdot$ Với $k$ lẽ $\Longrightarrow$ $k(k^2+5) \vdots 2$

$\Longrightarrow$ $k(k^2+5) \vdots 2$ $(1)$

 

$\oplus$ 

$\cdot$ Nếu $k \vdots 3$ $\Longrightarrow$ $k(k^2+5)= 27t^3+15t$ $(t \in z)$

$\cdot$ Nếu $k \vdots 3$ dư $1$ $\Longrightarrow$ $k(k^2+5)=3(3t+1)(3t^2+2t+2) \vdots 3$

$\cdot$ Nếu $k \vdots 3$ dư $2$ $\Longrightarrow$ $k(k^2+5)=3(3t+2)(3t^2+4t+3) \vdots 3$                                                                                                                                                                                                                              

$\Longrightarrow$ $k(k^2+5) \vdots 3$ $(2)$

 

$\oplus$ Từ $(1)$ và $(2)$ $\Longrightarrow$ $k(k^2+5) \vdots 6$

$\Longrightarrow$ $8k(k^2+5) \vdots 48$

$\Longrightarrow$ $(m^3+20m) \vdots 48$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 21-04-2013 - 18:28

[Tienanh tx]

Cách 2:$\oplus$ Ta có: $A=m^3+20 = m^3-4m+24m = m(m^2-4)+24m=m(m-2)(m+2) + 24m$

Thay $m=2k$, ta được: 

$A= 2k(2k-2)(2k+2)+24.2k = 8k(k-1)b(k+1) + 48k$

$\oplus$ Ta có : $k(k-1)(k+1) \vdots 6$ $\Longrightarrow$ $8k(k-1)(k+1) \vdots 48$

$\Longrightarrow$ $8k(k-1)b(k+1) + 48k \vdots 48$

$\Longrightarrow$ $A \vdots 48$

$QED$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 21-04-2013 - 18:37

[trucbnm]

Đề bài 3 hình như bị sai phải không ạ? 

[phatthemkem]

SỞ GD & ĐT BÌNH PHƯỚC                                  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

                                                                                   NĂM HỌC 2012-2013

                                                                                        Đề thi môn:Toán

                                                                                    Ngày thi : 2/4/2013

                                                                       Thời gian:150 phút (không kể phát đề)

 

Câu 3:(5 điểm )

Cho nữa đường tròn $(O,R)$ đường kính $AB$.Điểm M di chuyển trên nữa đường tròn. đường thẳng qua $O$ và song song với $MB$ cắt tiếp tuyến tại $M$ ở $C$ và cắt tiếp tuyến $B$ ở $N$. $MC$ và $BN$ cắt nhau tại D. Chứng minh:

a)Tam giác CDN cân

b)AC là tiếp tuyến của nữa đường tròng $(O)$ và tích $AC.BD$ không đổi.

c)Đường tròn ngoại tiếp tam giác COD luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định khi C di chuyển trên tiếp tuyến $Ax$ của nữa đường tròng $(O)$ (với C khác A).

 

a) Tam giác $MBD$ cân và $MB//NC$ nên tam giác $CDN$ cân tại $D$

b) Theo cm câu a) thì $\widehat{MCO}=\widehat{BNO}\Rightarrow \widehat{MOC}=\widehat{BON}$

Mà $\widehat{BON}=\widehat{COA}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{MOC}=\widehat{COA}\Rightarrow \Delta CAO=\Delta CMO\Rightarrow \widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90^0$

$\Rightarrow dpcm$ 

Dễ thấy tam giác $OCD$ vuông tại $O$ nên $AC.BD=CM.MD=OM^2=R^2$

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OCD$, vì $\Delta OCD$ vuông tại $O$ $\Rightarrow CI=ID$

Xét hình thang vuông $ABDC$ có $OA=OB,IC=ID$ $\Rightarrow IO//AC//BD\Rightarrow IO\perp AB$

Mặc khác $AB$ cố định $\Rightarrow$ khi $C$ di chuyển trên $Ax$ thì $(I)$ luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định $AB$

(Bài hình này khá simple.   )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 12-05-2013 - 08:07