cho a+b+c =1, a,b,c >0. Tìm min của P= $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca}$
Tìm min của P= $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca}$
Bắt đầu bởi rongtuongduong91, 21-04-2013 - 20:57
#1
Đã gửi 21-04-2013 - 20:57
#2
Đã gửi 21-04-2013 - 21:14
cho a+b+c =1, a,b,c >0. Tìm min của P= $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} + \frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} +\frac{1}{ca}$
Giải:
Dễ dàng Cm đc $abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3=\frac{1}{27};$
$ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$
$P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\sum \frac{1}{3ab}+\sum \frac{2}{3ab}$
Áp dụng BDT Schawrz, Cauchy, ta có:
$P\geq \frac{16}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}+\frac{2(a+b+c)}{3abc}$
$\geq \frac{16}{1+\frac{1}{3}}+\frac{2}{\frac{1}{9}}=30$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3
- DarkBlood, hoangkkk, Forgive Yourself và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh