1. Cho S.ABCD có ABCD là hình thoi, I là giao điểm của AC với BD, SI vuông góc với mp (ABCD), SI=a$\sqrt{3}$, AC=4a, BD=2a
a) tính d (B; (SAD))
b) tính d (B; (SAC))
c) Gọi M trung điểm SC. Tính d (SA; MB)
1.
Ta có: $V_{SDAB}=\frac{1}{3}.SI.S_{\bigtriangleup DAB}$
$=\frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}.2a.2a=\frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}$
Do $SI\perp (ABCD)$ nên $SI\perp DI,SI\perp IA$
Vì vậy:
$SD=\sqrt{SI^2+ID^2}=2a,SA=\sqrt{SI^+IA^2}=a\sqrt{7},AD=\sqrt{ID^2+IA^2}=A\sqrt{5}$
Trong tam giác $SDA,$ kẻ $SH\perp AD,$ khi đó:
$cos(\widehat{SDA})=\frac{SA^21+DA^2-SA^2}{2.SD.AD}=...=\frac{1}{2\sqrt{5}}$
Mặc khác, $cos(\widehat{SDA})=cos(\widehat{SDH})=\frac{DH}{DS}\Rightarrow DH=\frac{2a}{2\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$
$\Rightarrow SH=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{5}}=a\sqrt{\frac{19}{5}}$
$S_{\bigtriangleup SDA}=\frac{1}{2}.SH.DA=\frac{a^2\sqrt{19}}{2}$
Mà $V_{BSDA}=V_{SBD}\Rightarrow \frac{2a^{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}d(B,(SAD)).\frac{a^2\sqrt{19}}{2}\Rightarrow d(B,(SAD))=...$
b)$d (B; (SAC))$
Ta có $BI\perp AC,BI\perp SI\Rightarrow BI\perp (SAC)$
$\Rightarrow d (B; (SAC))=BI=a$
c)$d (SA; MB)$
Nhận thấy $MI//SA$ suy ra $(MIB)//(SA)\Rightarrow d (SA; MB)=d(A;(MIB))$
Tới đây tính $d(A;(MIB))$ tương tự câu $a)$
2.
$a)d (S; (ABCD))$
$SABCD$ là chóp đều nên $SO\perp (ABCD)\Rightarrow SO=d (S; (ABCD))$
Kẻ $MO\perp AD(M \in AD),$ khi đó $M$ là trung điểm $AD$ và $\widehat{SMO}=60^{\circ}$
$MO=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$
$tan\widehat{SMO}=\frac{SO}{MO}\Rightarrow SO=MO.tan60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
$b)d(AC;SB)$
Ta có $SO\perp AC, DB\perp AC\Rightarrow (SDB)\perp AC$
Trong $(SBD),$ kẻ $ON \perp SB(N\in SB),$ khi đó $ON$ cũng vuông góc với $AC.$
Vì vậy $d(AC;SB)=ON$
Trong tam giác vuông $SOB:$
$OB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
Do $ON$ là đường cao ứng với $SB$ nên:
$\frac{1}{ON^2}=\frac{1}{SO^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{10}{3a^2}\Rightarrow ON=d(AC,SB)=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MIM: 24-04-2013 - 19:48
