Chủ đề này có 1 trả lời

[elgato02]

Cho V là không gian vectơ trên R và x, y, z thuộc V. Chứng minh rằng {x,y,z} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi { x + y, y + z, z + x } cũng độc lập tuyến tính

[vo van duc]

1) Giả sử $\left \{ x,y,z \right \}$ độc lập tuyến tính. Ta sẽ chứng minh $\left \{ x+y,y+z,z+x \right \}$ độc lập tuyến tính.

 

Ta có:

 

$\alpha _{1}(x+y)+\alpha _{2}(y+z)+\alpha _{3}(z+x)=0$

 

$\Leftrightarrow (\alpha _{1}+\alpha _{3})x+(\alpha _{1}+\alpha _{2})y+(\alpha _{2}+\alpha _{3})z=0$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha _{1}+\alpha _{3}=0\\ \alpha _{1}+\alpha _{2}=0\\ \alpha _{2}+\alpha _{3}=0 \end{matrix}\right.$ (vì $\left \{ x,y,z \right \}$ độc lập tuyến tính)

 

$\Leftrightarrow \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0$

 

Vậy $\left \{ x+y,y+z,z+x \right \}$ độc lập tuyến tính.

 

2) Giả sử  $\left \{ x+y,y+z,z+x \right \}$ độc lập tuyến tính. Ta sẽ chứng minh $\left \{ x,y,z \right \}$ độc lập tuyến tính.

 

Ta có:

 

$\alpha _{1}x+\alpha _{2}y+\alpha _{3}z=0$

 

$\Leftrightarrow \left ( \frac{\alpha _{1}}{2}+\frac{\alpha _{2}}{2}-\frac{\alpha _{3}}{2} \right )(x+y)+\left ( -\frac{\alpha _{1}}{2}+\frac{\alpha _{2}}{2}+\frac{\alpha _{3}}{2} \right )(y+z)+\left ( \frac{\alpha _{1}}{2}-\frac{\alpha _{2}}{2}+\frac{\alpha _{3}}{2} \right )(z+x)=0$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{\alpha _{1}}{2}+\frac{\alpha _{2}}{2}-\frac{\alpha _{3}}{2}=0\\ -\frac{\alpha _{1}}{2}+\frac{\alpha _{2}}{2}+\frac{\alpha _{3}}{2}=0\\ \frac{\alpha _{1}}{2}-\frac{\alpha _{2}}{2}+\frac{\alpha _{3}}{2}=0 \end{matrix}\right.$ (Vì $\left \{ x+y,y+z,z+x \right \}$ độc lập tuyến tính)

 

$\Leftrightarrow \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0$

 

Vậy $\left \{ x,y,z \right \}$ độc lập tuyến tính.

 

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 24-04-2013 - 16:07