Chủ đề này có 4 trả lời

[19kvh97]

Tìm số nguyên dương $K$ sao cho có tồn tại các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn 

$m^2+n^2=K(mn-2)$

 

[WhjteShadow]

Tìm số nguyên dương $K$ sao cho có tồn tại các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn 

$m^2+n^2=K(mn-2)$

Một bài toán quen thuộc sử dụng Vieta Jumping Menthod

Gọi $m_0,n_0$ là cặp nghiệm nguyên dương có tổng nhỏ nhất của phương trình trên, không mất tính tổng quát giả sử $m_0\geq n_0$.

Xét phương trình :

$$m^2+n_0^2-k(mn_0-2)=0$$

$$\Leftrightarrow \mathcal{P}(m)=m^2-km.n_0+2k+n_0^2=0$$

Là phương trình bậc 2 ẩn $m$ có nghiệm $m_0$ nên nó có nghiệm $m_1$ thỏa mãn :

$$m_1=\frac{2k+n_0^2}{m_0}=km.n_0-m_0\,\,\,\text{(The0 Viète)}$$

Mà $\frac{2k+n_0^2}{m_0}>0,km.n_0-m\in \mathbb{Z}$ nên $m_1\in \mathbb{Z}^{+}$

Suy ra $(m_1;n_0)$ cũng là nghiệm của phương trình ban đầu, vậy nên :

$$m_1+n_0\geq m_0+n_0$$

$$\Rightarrow m_1\geq m_0\geq n_0$$

Mà do $\mathcal{P}(m)$ có 2 nghiệm $m_1\geq m_0$ nên the0 tính chất "Tr0ng khác ngoài cùng" thì :

$$\mathcal{P}(n_0)\geq 0$$

$$\Leftrightarrow n_0^2-kn_0^2+2k+n_0^2\geq 0$$

$$\Leftrightarrow k(n_0^2-2)\leq 2n_0^2$$

$\bullet$ Nếu $n_0=1$ thì 

$$m_0^2-km_0+2k+1=0$$

Suy ra $\Delta=k^2-4(2k+1)=(k-4)^2-20$ phải là số chính phương, trường hợp này dễ r` nhé Đặt $(k-4)^2-20=x^2$ ra ngay $k=10$.

$\bullet$ Nếu $n_0\geq 2$ thì $n_0^2-2>0$ suy ra :

 

$$k\leq \frac{2n_0^2}{n_0^2-2}\leq 4$$

Mặt khác $k=\frac{m^2+n^2}{mn-2}>\frac{m^2+n^2}{mn}\geq 2$.

Nên $k\in \{3;4\}$

Vậy tóm lại $k\in \{3;4;10\}$.

$\star$ Nếu $k=3$ thì $m^2+n^2=3(mn-2)$ suy ra $m,n\vdots 3\Rightarrow m^2+n^2=3(mn-2)\vdots 9\Rightarrow mn-2\vdots 3$ Vô lý do $m,n\vdots 3$

TH $k=4$ và $k=10$ đều dễ dàng mò ra nghiệm, bạn làm nốt nhé :3. Ta còn có thể tìm tất cả các số $m,n$ nguyên dương ch0 $k$ nguyên nữa, để mình làm TH $k=4$

$\star$ Nếu $k=4$ thì $m^2+n^2=4(mn-2)$. Đây là pt dạng Markov :3

Xét dãy $u_0=2,u_1=2,u_{n+1}=4u_{n}-u_{n-1}$ ta có ngay nghiệm pt là $(m;n)=(u_{n+1};u_{n})$ với mọi $n\in \mathbb{N}$.

[123123]

Phương trình Markov mình mới thấy ở tài liệu của thầy Nam Dũng (phương pháp gen). Các bạn có thể cho mình xin thêm tài lệu về phần này được không? Mình tra google nhưng không thấy có. Cám ơn nhiều!

[WhjteShadow]

Phương trình Markov mình mới thấy ở tài liệu của thầy Nam Dũng (phương pháp gen). Các bạn có thể cho mình xin thêm tài lệu về phần này được không? Mình tra google nhưng không thấy có. Cám ơn nhiều!

@.@ Hình như trên mạng k có bạn ạ, mình mượn thầy mình 1 bài báo của Nga ngồi đọc mới biết cách làm

[123123]

Bạn có thể giới thiệu qua các dạng phương trình này cho mình được không, hay là cho mình tên bài báo đó. Cảm ơn bạn nhiều!