Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh trung tuyến AI vuông góc với MN


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
mathprovn

mathprovn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

Cho tam giác ABC có 2 đường cao BB' và CC'. Đường thẳng vuông góc với AC tại A và đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt CC' và BB' lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng MN vuông góc với trung tuyến AI.


photo-89836_zpseddf800c.gif VMF - Ngôi nhà chung của Toán Học :like 


#2
PTKBLYT9C1213

PTKBLYT9C1213

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Cho tam giác ABC có 2 đường cao BB' và CC'. Đường thẳng vuông góc với AC tại A và đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt CC' và BB' lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng MN vuông góc với trung tuyến AI.

Mình có cách này nhưng có vẻ là hơi dài:

BB' và CC' cắt nhau tại H

Kẻ tia Bx vuông góc BC tại B, tia Cy vuông góc BC tại C. BB' cắt Cy tại Q, CC' cắt Bx tại P

Gọi I là trung điểm BQ, K là trung điểm CQ

Theo bổ đề hình thang ta có I,H,K thẳng hàng 

Ta sẽ chứng minh AI vuông góc IK. Thật vậy:

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HCQ$ có $\widehat{ACB}=\widehat{HQC}$ ( cùng phụ $\widehat{B'CQ}$)

và $\widehat{BAC}=\widehat{CHQ}$ ( do AC'HB' nội tiếp)

$\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta HCQ$ có AI và HK là hai trung tuyến tương ứng 

$\Rightarrow \Delta ABI\sim \Delta HCK$ $\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{CHK}$

$\Rightarrow$ AC'HI" nội tiếp (I' là giao điểm AI và HK)

$\Rightarrow \widehat{AI'H}=\widehat{AB'H}=90^{0}$ hay AI vuông góc HK

Gọi giao điểm của AN và Bx là E, giao điểm của AM và Cy là F

MN cắt Bx, Cy lần lượt tại G và J

Ta có tứ giác AMHN là hình bình hành ( hai cặp cạnh đối song song)

nên MN và AH cắt nhau tại trung điểm  mỗi đường 

Theo bổ đề hình thang thì ta dễ dàng chứng minh được G là trung điểm PE và J là trung điểm QF

Khi đó GJ//IK

Vậy MN  vuông góc AI


                      THE SHORTEST ANSWER IS DOING 

                        :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  :closedeyes:  

 


#3
mathprovn

mathprovn

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 146 Bài viết

Cám ơn bạn đã có 1 cách giải thú vị. Nhưng đây là bài toán hình lớp 8, không thể sử dụng tứ giác nội tiếp được. Mời mọi người cùng chia sẻ cách giải bài toán này nhé.


photo-89836_zpseddf800c.gif VMF - Ngôi nhà chung của Toán Học :like 


#4
toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Banned
  • 628 Bài viết
Hay thật




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh