Cho tam giác ABC có 2 đường cao BB' và CC'. Đường thẳng vuông góc với AC tại A và đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt CC' và BB' lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng MN vuông góc với trung tuyến AI.
Chứng minh trung tuyến AI vuông góc với MN
#1
Đã gửi 24-04-2013 - 14:28
#2
Đã gửi 27-04-2013 - 21:08
Cho tam giác ABC có 2 đường cao BB' và CC'. Đường thẳng vuông góc với AC tại A và đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt CC' và BB' lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng MN vuông góc với trung tuyến AI.
Mình có cách này nhưng có vẻ là hơi dài:
BB' và CC' cắt nhau tại H
Kẻ tia Bx vuông góc BC tại B, tia Cy vuông góc BC tại C. BB' cắt Cy tại Q, CC' cắt Bx tại P
Gọi I là trung điểm BQ, K là trung điểm CQ
Theo bổ đề hình thang ta có I,H,K thẳng hàng
Ta sẽ chứng minh AI vuông góc IK. Thật vậy:
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HCQ$ có $\widehat{ACB}=\widehat{HQC}$ ( cùng phụ $\widehat{B'CQ}$)
và $\widehat{BAC}=\widehat{CHQ}$ ( do AC'HB' nội tiếp)
$\Rightarrow \Delta ABC\sim \Delta HCQ$ có AI và HK là hai trung tuyến tương ứng
$\Rightarrow \Delta ABI\sim \Delta HCK$ $\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{CHK}$
$\Rightarrow$ AC'HI" nội tiếp (I' là giao điểm AI và HK)
$\Rightarrow \widehat{AI'H}=\widehat{AB'H}=90^{0}$ hay AI vuông góc HK
Gọi giao điểm của AN và Bx là E, giao điểm của AM và Cy là F
MN cắt Bx, Cy lần lượt tại G và J
Ta có tứ giác AMHN là hình bình hành ( hai cặp cạnh đối song song)
nên MN và AH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Theo bổ đề hình thang thì ta dễ dàng chứng minh được G là trung điểm PE và J là trung điểm QF
Khi đó GJ//IK
Vậy MN vuông góc AI
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
#3
Đã gửi 27-04-2013 - 22:56
Cám ơn bạn đã có 1 cách giải thú vị. Nhưng đây là bài toán hình lớp 8, không thể sử dụng tứ giác nội tiếp được. Mời mọi người cùng chia sẻ cách giải bài toán này nhé.
- PTKBLYT9C1213 yêu thích
#4
Đã gửi 04-04-2019 - 11:48
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh