Tìm $x,y\epsilon \mathbb{Z}$ thỏa $x^{2}-2y^{2}=5$
Tìm $x,y\epsilon \mathbb{Z}$ thỏa $x^{2}-2y^{2}=5$
#1
Đã gửi 24-04-2013 - 18:38
#2
Đã gửi 24-04-2013 - 19:02
Tìm $x,y\epsilon \mathbb{Z}$ thỏa $x^{2}-2y^{2}=5$
Do một số chính phương thì chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$.
+)Nếu $x^2$ chia hết cho 4:
+)Nếu $y^2$ cũng chia hết cho $4 \Longrightarrow x^2-2y^2 \equiv 0 (mod 4)$ mà $5 \equiv 1 (mod 4)$
$\Longrightarrow x^2-2y^2 \neq 5$
+)Nếu $y^2$ chia cho $4$ dư $1$ $\Longrightarrow x^2-2y^2 \equiv 2 (mod 4)$
$\Longrightarrow x^2-2y^2 \neq 5$
+)Nếu $x^2$ chia cho $4$ dư $1$ thì lập luận tương tự,ta cũng suy ra phương trình có nghiệm khi $y^2$ chia hết cho $4$
$\Longrightarrow y |2$
$\Longrightarrow y$ có dạng $2k$
$\Longrightarrow x^2-2y^2=x^2-8k^2=5$
Do một số chính phương chia cho $8$ thì dư $0,1,4$ nên ta dễ dàng thấy phương trình $x^2-8k^2=5$ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên.
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#4
Đã gửi 26-04-2013 - 21:21
Do một số chính phương thì chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$.
+)Nếu $x^2$ chia hết cho 4:
+)Nếu $y^2$ cũng chia hết cho $4 \Longrightarrow x^2-2y^2 \equiv 0 (mod 4)$ mà $5 \equiv 1 (mod 4)$
$\Longrightarrow x^2-2y^2 \neq 5$
+)Nếu $y^2$ chia cho $4$ dư $1$ $\Longrightarrow x^2-2y^2 \equiv 2 (mod 4)$
$\Longrightarrow x^2-2y^2 \neq 5$
+)Nếu $x^2$ chia cho $4$ dư $1$ thì lập luận tương tự,ta cũng suy ra phương trình có nghiệm khi $y^2$ chia hết cho $4$
$\Longrightarrow y |2$
$\Longrightarrow y$ có dạng $2k$
$\Longrightarrow x^2-2y^2=x^2-8k^2=5$
Do một số chính phương chia cho $8$ thì dư $0,1,4$ nên ta dễ dàng thấy phương trình $x^2-8k^2=5$ vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên.
Có thể cho em biết vì sao lại chọn chia cho 4 được không a?
#5
Đã gửi 26-04-2013 - 21:30
Có thể cho em biết vì sao lại chọn chia cho 4 được không a?
Chọn 4 thì vì ta thấy thế này:Vì ta thử các số $3,4,5...$ là thấy sô $4$ có khả năng để loại nghiệm .Còn bài này mình làm rồi thôi,chứ cách chọn 4 thì mình cũng không biết cho rõ lắm
- Anh Vinh yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#6
Đã gửi 26-04-2013 - 22:02
Chọn 4 thì vì ta thấy thế này:Vì ta thử các số $3,4,5...$ là thấy sô $4$ có khả năng để loại nghiệm .Còn bài này mình làm rồi thôi,chứ cách chọn 4 thì mình cũng không biết cho rõ lắm
à ukm!
#7
Đã gửi 27-04-2013 - 19:53
Trong chuyên đề số học đã nói rõ cách chọn số để tìm đòng dư rồi
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh