Chủ đề này có 7 trả lời

[gbao198]

Tìm $x,y\epsilon \mathbb{Z}$   thỏa $x^{2}-2y^{2}=5$

[Oral1020]

Tìm $x,y\epsilon \mathbb{Z}$   thỏa $x^{2}-2y^{2}=5$

Do một số chính phương thì chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$.

+)Nếu $x^2$ chia hết cho 4:

+)Nếu $y^2$ cũng chia hết cho $4 \Longrightarrow x^2-2y^2 \equiv 0 (mod 4)$ mà  $5 \equiv 1 (mod 4)$

$\Longrightarrow x^2-2y^2 \neq 5$

+)Nếu $y^2$ chia cho $4$ dư $1$ $\Longrightarrow x^2-2y^2 \equiv 2 (mod 4)$

$\Longrightarrow x^2-2y^2 \neq 5$

+)Nếu $x^2$ chia cho $4$ dư $1$ thì lập luận tương tự,ta cũng suy ra phương trình có nghiệm khi $y^2$ chia hết cho $4$

$\Longrightarrow y |2$

$\Longrightarrow y$ có dạng $2k$

$\Longrightarrow x^2-2y^2=x^2-8k^2=5$

Do một số chính phương chia cho $8$ thì dư $0,1,4$ nên ta dễ dàng thấy phương trình $x^2-8k^2=5$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên.

[cuongcute1234]

Cách ngắn hơn nè.

$x^{2}=2y^{2}+5$

$x^{2}\equiv 0,1,4(mod 8)$

$2y^{2}+5\equiv 5,7\left ( mod8 \right )$

Đến đây thấy pt vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuongcute1234: 26-04-2013 - 20:12

[Supermath98]

Do một số chính phương thì chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$.

+)Nếu $x^2$ chia hết cho 4:

+)Nếu $y^2$ cũng chia hết cho $4 \Longrightarrow x^2-2y^2 \equiv 0 (mod 4)$ mà  $5 \equiv 1 (mod 4)$

$\Longrightarrow x^2-2y^2 \neq 5$

+)Nếu $y^2$ chia cho $4$ dư $1$ $\Longrightarrow x^2-2y^2 \equiv 2 (mod 4)$

$\Longrightarrow x^2-2y^2 \neq 5$

+)Nếu $x^2$ chia cho $4$ dư $1$ thì lập luận tương tự,ta cũng suy ra phương trình có nghiệm khi $y^2$ chia hết cho $4$

$\Longrightarrow y |2$

$\Longrightarrow y$ có dạng $2k$

$\Longrightarrow x^2-2y^2=x^2-8k^2=5$

Do một số chính phương chia cho $8$ thì dư $0,1,4$ nên ta dễ dàng thấy phương trình $x^2-8k^2=5$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên.

Có thể cho em biết vì sao lại chọn chia cho 4 được không a?

[Oral1020]

Có thể cho em biết vì sao lại chọn chia cho 4 được không a?

Chọn 4 thì vì ta thấy thế này:Vì ta thử các số $3,4,5...$ là thấy sô $4$ có khả năng để loại nghiệm .Còn bài này mình làm rồi thôi,chứ cách chọn 4 thì mình cũng không biết cho rõ lắm

[Supermath98]

Chọn 4 thì vì ta thấy thế này:Vì ta thử các số $3,4,5...$ là thấy sô $4$ có khả năng để loại nghiệm .Còn bài này mình làm rồi thôi,chứ cách chọn 4 thì mình cũng không biết cho rõ lắm

à ukm! 

[cuongcute1234]

Trong chuyên đề số học đã nói rõ cách chọn số để tìm đòng dư rồi

[L Lawliet]

Tìm $x,y\epsilon \mathbb{Z}$   thỏa $x^{2}-2y^{2}=5$

Đây là phương trình Pell dạng biến thể chứa tham số với $n=5$ xem thêm ở đây nhé