Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hungpronc1

hungpronc1

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

cho 3 số dương $a,b,c$ tm: $a+b+c=3$. Tìm min:

$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 24-04-2013 - 19:51


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

cho 3 số dương a,b1c tm: a+b+c=3. Tìm min:

$P=\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}+\frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2b+a+c}}+\frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{2c+b+a}}$

 

Ta có $\frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}= \frac{b^2}{\sqrt{2ab+b^2+bc}}$

Do đó $\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}= \frac{b^2}{\sqrt{2ab+b^2+bc}}+\frac{c^2}{\sqrt{2bc+c^2+ac}}+\frac{a^2}{\sqrt{2ac+a^2+ab}}$

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarzt ta có 

     $\sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{\sqrt{2ab+b^2+bc}+\sqrt{2bc+c^2+ac}+\sqrt{2ac+a^2+ab}}$

Do $a+b+c=3$ nên ta chỉ cần đi tìm MAX của ${\sqrt{2ab+b^2+bc}+\sqrt{2bc+c^2+ac}+\sqrt{2ac+a^2+ab}}=P$

Áp dụng AM-GM ta có $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq 3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}$

 Do đó $P\leq 3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}{3}}=3\sqrt{\frac{9+(ab+bc+ac)}{3}}$

Lại có $ab+bc+ac \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3$

            $\Rightarrow P \leq 3\sqrt{\frac{9+3}{3}}=6$

            $\Rightarrow \sum \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{2a+b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{P} \leq \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh