Chủ đề này có 1 trả lời

[hungpronc1]

cho 3 số dương $x,y,z$ tm :$x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) \leq 6$ tìm Min:

$P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 24-04-2013 - 19:59

[25 minutes]

cho 3 số dương x,y,z tm :x(x-1)+y(y-1)+z(z-1) <=6 tìm Min:

$P=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}$

Từ giả thiết bài toán ta có $x^2+y^2+z^2 \leq 6+(x+y+z)$

Lại có $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\Rightarrow 6+(x+y+z) \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$

     $\Rightarrow x+y+z \leq 6$

Ta lại có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}$

Do đó $P \geq \frac{9}{2(x+y+z)+3}\geq \frac{9}{2.6+3}=\frac{3}{5}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z=2$