Chủ đề này có 12 trả lời

[elgato02]

Trong không gian R⁴ xét tập hợp: W={(x₁,x₂,x₃,x₄) : x₁ + x₂ -x₃ + 2x₄ = 0 }.Tìm một cơ sở và số chiều cho W.

Mong mọi người giúp đỡ

[letrongvan]

$u\in W, u=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})$

$u=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}x_{1}+\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}x_{2}+\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -1\\ 0 \end{pmatrix}x_{3}+\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}x_{4}$ dễ thấy 4 cái vector trong ngoặc đó là một hệ sinh của W, chỉ cần kiểm tra xem nó có độc lập tuyến tính không, nếu đã độc lập tuyến tính thì đó chính là cơ sở của W và số chiều bằng 4, nếu không thì sẽ có 1 vector là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại, tốt nhất bạn lập ma trận cột 4 vector đó ra và tìm 1 cơ sở hoàn chỉnh, khi đó số chiều <4.

Cái này bạn tự làm nhé

[YeuEm Zayta]

Đôi khi từ những bài cơ bản như thế này mà ta có thể nhận ra được nhiều điều nhỉ

[letrongvan]

Cũng kha khá đó, tưởng quên luôn bài này, không làm được, nhớ mãi mới ra, nhất là cái tính chất đưa về ma trận cột tìm hạng của hệ vector, tí thì quên mất

[tamtamst3]

Mình có 3 bài này rối nhằn, giải nữa bài thì còn thích thích nhưng từ từ thì hết biết đường ra luôn 

Có cao thủ nào vào tiếp tay mình không?

Bài 1:

Bài 2:

Bài 3:

 

Mong các bạn giúp đỡ và chỉ cho mình những mẹo hay để giải quyết nhanh, chắc những dạng bài như vậy. Rất cảm ơn!

 

[vo van duc]

Bài 1:

$A=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 1 & 5 \end{bmatrix}$

 

Việc chéo hóa ma trận này thì các sách đều có thuật toán chi tiết. Tôi sẽ không bàn thêm ở đây. Tôi xin giới thiệu cho bạn một vài kỹ thuật để xử lý áp dụng của bài toán chéo hóa trong trường hợp cụ thể này.

..................................

 

$\left\{\begin{matrix} u_{n+1} =2u_n+4v_n& (1)\\ v_{n+1}=u_n+5v_n & (2) \end{matrix}\right.$

 

Hướng thứ nhất: Theo Đại số - ứng dụng bài toán tính lũy thừa ma trận

 

Ta viết lại hệ trên dưới dạng ma trận như sau

 

$\begin{bmatrix} u_{n+1}\\ v_{n+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 4\\ 1 & 5 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} u_n\\ v_n \end{bmatrix}$

 

Đặt $X_n=\begin{bmatrix} u_n\\ v_n \end{bmatrix}$, khi đó phương trình ma trận trên viết lại như sau:

 

$X_n=A.X_{n-1}=\cdots =A^{n}.X_0$ $(*)$

 

Tới đây nếu ta tính được ma trận $A^n$ và thế vào phương trình $(*)$ và tính ra công thức của $u_n$ và $v_n$ theo $u_0$ và $v_0$ là xong rồi nhỉ!

 

Có nhiều kỹ thuật tính lũy thừa ma trận nhưng cụ thể trong bài toán này là dùng chéo hóa ma trận để tính lũy thừa ma trận

 

Việc tính toán tiếp theo là của bạn. Ở đây tôi chỉ giới thiệu ý tưởng cho bạn thôi nha.

 

Hướng thứ hai: Dùng giải tích

 

Lấy phương trình $(2)$ trừ cho phương trình $(1)$ ta có

 

$v_{n+1}-u_{n+1}=v_n-u_n=v_{n-1}-u_{n-1}=\cdots =v_0-u_0=1$ $(**)$

 

Từ $(**)$ ta suy ra $v_n=u_n+1$ và thay vào $(1)$ ta có $u_{n+1}=6u_n+4$

 

Khi đó

$\left \{ u_n \right \}:\left\{\begin{matrix} u_0=0& & \\ u_{n+1}=6u_n+4&  \text{với} &n\geq 1 \end{matrix}\right.$

 

Việc tìm công thức tổng quát của dãy $\left \{ u_n \right \}$ là việc cũng cơ bản trong giải tích rồi.

 

Tương tự ta cũng xây dựng được công thức truy hồi xác định dãy $\left \{ v_n \right \}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 02-05-2013 - 22:13

[vo van duc]

Bài 2:

 

Ta dể dàng tính được ma trận $A+B$ và ma trận này khả nghịch.

 

Áp dụng tính chất $\det (A+B)^{-1}=\frac{1}{\det (A+B)}$ là xong.

[tamtamst3]

Ở bài 2, mình giải quyết xong (A+B) rồi. Hướng mình giải như sau:

Sau khi đã tính được (A+B) mình tính nó khả nghịch: (A+B)^-1 

^{Ở đây mình tạm xem (A+B) là A cho dễ nhé.}

 

Mình nghĩ là tính xong (A+B)^-1 rồi mới tính đến det của nó sau. Nhưng kẹt ở chỗ (A+B)^-1 mình tính không ra nên trong bài thi mình phán là không khả nghịch, không có det((A+B)^-1). Không có điểm luôn.

Mong bạn chỉ ra chỗ sai của mình. Cảm ơn nhiều!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tamtamst3: 29-04-2013 - 12:08

[vo van duc]

Mình nghĩ là tính xong (A+B)^-1 rồi mới tính đến det của nó sau. Nhưng kẹt ở chỗ (A+B)^-1 mình tính không ra nên trong bài thi mình phán là không khả nghịch, không có det((A+B)^-1). Không có điểm luôn.

Mong bạn chỉ ra chỗ sai của mình. Cảm ơn nhiều!

 

Rõ ràng $\det (A+B)\neq 0$ mà dám nói nó không khả nghich thì sai rồi.

 

Trong bài yêu cầu tính $\det (A+B)^{-1}$ chứ có yêu cầu tìm $(A+B)^{-1}$ đâu mà bạn phải khổ sở vậy.

 

Bạn có thể tham khảo cách tính $(A+B)^{-1}$ của tôi để xem bạn đã nhầm lẫn ở đâu.

 

Ta có:

 

$\left [ A+B\mid I \right ]=\begin{bmatrix} 5 & 36 & 42 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 28 & \mid & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 15 & \mid & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

 

$\xrightarrow[]{\frac{1}{15}h_3\rightarrow h_3}\begin{bmatrix} 5 & 36 & 42 & \mid & 1 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 28 & \mid & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 0 & 0 & \frac{1}{15} \end{bmatrix}$

 

$\xrightarrow[h_2-28h_3\rightarrow h_2]{h_1-42h_3\rightarrow h_1}\begin{bmatrix} 5 & 36 & 0 & \mid & 1 & 0 & -\frac{42}{15}\\ 0 & 6 & 0 & \mid & 0 & 1 & -\frac{28}{15}\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 0 & 0 & \frac{1}{15} \end{bmatrix}$

 

$\xrightarrow[]{\frac{1}{6}h_2\rightarrow h_2}\begin{bmatrix} 5 & 36 & 0 & \mid & 1 & 0 & -\frac{42}{15}\\ 0 & 1 & 0 & \mid & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{14}{45}\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 0 & 0 & \frac{1}{15} \end{bmatrix}$

 

$\xrightarrow[]{h_1-36h_2\rightarrow h_1}\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & \mid & 1 & -6 & \frac{42}{5}\\ 0 & 1 & 0& \mid & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{14}{45}\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 0 & 0 & \frac{1}{15} \end{bmatrix}$

 

$\xrightarrow[]{\frac{1}{5}h_1\rightarrow h_1}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \mid & \frac{1}{5} & -\frac{6}{5} & \frac{42}{25}\\ 0 & 1 & 0& \mid & 0 & \frac{1}{6} & -\frac{14}{45}\\ 0 & 0 & 1 & \mid & 0 & 0 & \frac{1}{15} \end{bmatrix}$

 

Vậy$(A+B)^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -6 & \frac{42}{5}\\ 0 & \frac{1}{6} & -\frac{14}{45}\\ 0 & 0 & \frac{1}{15} \end{bmatrix}$

[tamtamst3]

Vâng, mình cảm ơn bạn 

vo van duc

đã rất nhiệt tình giúp đỡ mình. Với cách giải tìm ma trận nghịch đảo trên của bạn mình đã biết mình thiếu sót chỗ nào. Những mình vẫn còn thắc mắc. Không biết bạn có thể giúp mình thêm 1 lần nữa không?

Vấn đề của mình là: giữa det(A+B)^-1 và det((A+B)^-1) có khác nhau không? Nếu bài bảo tìm det(A+B)^-1 thì công thức: 

của bạn đúng. Nhưng mình thắc mắc det((A+B)^-1) thì không thể làm vậy được?

Lí do mình phải tìm cho ra (A+B)^-1 là để tính det của nó.

Dù gì bài này cũng là quá khứ rồi nhưng mình chỉ muốn tìm hiểu cặn kẻ để tránh gặp trường hơp tương tự. Nếu có phiền bạn thì cho mình xin lỗi. Cảm ơn bạn đã giúp đỡ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tamtamst3: 01-05-2013 - 15:54

[YeuEm Zayta]

A Đức cho e góp ý với a nhé^^.Bạn @tamtamst3 2 cái det đó giống nhau mà b,bạn thử lấy vd 1 mt cấp 2 là kiểm chứng được thôi mà ^^

[vo van duc]

Vấn đề của chúng ta là cách hiểu ký hiệu.

 

Tôi xin giải thích như sau:

 

 $\det (A+B)^{-1}$ và $\det ((A+B)^{-1})$ là như nhau. Nhưng  $\det (A+B)^{-1}$ và $(\det (A+B))^{-1}$ khác nhau.

 

Trên đây tôi đã sử dụng tính chất về định thức của ma trận khả nghịch: "Nếu A là ma trận khả nghịch thì $detA.detA^{-1}=1$"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 01-05-2013 - 21:49

[tamtamst3]

Vâng, mình hiểu rồi. Cảm ơn  vo van duc và YeuEm Zayta đã giải đáp giúp mình 

Mình đã thử tính lại, rất nhanh. Do mình không linh hoạt suy nghĩ mà áp dụng cứng ngắt nên gặp khó khăn trong tính toán.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tamtamst3: 02-05-2013 - 11:11