Giải phương trình :$n^2+n+1=pqrt$ ( với $n$ là số tự nhiên, $p,q,r,t$ là số nguyên tố).
Russian National Oympiad 2013(ML)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 28-04-2013 - 13:11
Giải phương trình :$n^2+n+1=pqrt$ ( với $n$ là số tự nhiên, $p,q,r,t$ là số nguyên tố).
Russian National Oympiad 2013(ML)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 28-04-2013 - 13:11
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Giải phương trình :$n^2+n+1=pqrt$ ( với $n$ là số tự nhiên, $p,q,r,t$ là số nguyên tố).
Russian National Oympiad 2013(ML)
Không biết em giải cách này đã ổn chưa nữa, mong anh và các bạn nhắc nhở và góp ý.
______________________________
Đặt $a=pqrt$, khi đó $a$ có các ước số nguyên tố là $p,q,r,t$
Ta xét $a$ theo $mod 5$
$1)$ $a\equiv 0\left ( mod 5 \right )$
Dễ dàng thấy với mọi $n$ xét theo $mod 5$ đều không thỏa.
$2)$ $a\equiv 1\left ( mod5 \right )$
Với $n=5k,5k+4(k\in\mathbb{N})$ ta thấy thỏa.
$3)$ $a\equiv 2\left ( mod5 \right )$
Với $n=5k+2(k\in \mathbb{N})$ ta thấy thỏa.
$4)$ $a\equiv 3\left( mod5\right)$
Với$n=5k+1,5k+3(k\in \mathbb{N})$ ta thấy thỏa.
$5)$ $a\equiv 4\left(mod5\right)$
Với mọi $n$ xét theo $mod5$ đều không thỏa.
Vậy với $a=pqrt$ ta có:
$$ \left\{\begin{matrix}a\equiv 0,4mod5\rightarrow n=\phi & & \\ a\equiv 1mod5\rightarrow n=5k,5k+4& & \\a\equiv 2mod5\rightarrow n=5k+2 & & \\a\equiv 3mod5\rightarrow n=5k+1,5k+3 & & \\k\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 30-04-2013 - 14:43
-----------------------------------------------------
Không biết em giải cách này đã ổn chưa nữa, mong anh và các bạn nhắc nhở và góp ý.
______________________________
Đặt $a=pqrt$, khi đó $a$ có các ước số nguyên tố là $p,q,r,t$
Ta xét $a$ theo $mod 5$
$1)$ $a\equiv 0\left ( mod 5 \right )$
Dễ dàng thấy với mọi $n$ xét theo $mod 5$ đều không thỏa.
$2)$ $a\equiv 1\left ( mod5 \right )$
Với $n=5k,5k+4(k\in\mathbb{N})$ ta thấy thỏa.
$3)$ $a\equiv 2\left ( mod5 \right )$
Với $n=5k+2(k\in \mathbb{N})$ ta thấy thỏa.
$4)$ $a\equiv 3\left( mod5\right)$
Với$n=5k+1,5k+3(k\in \mathbb{N})$ ta thấy thỏa.
$5)$ $a\equiv 4\left(mod5\right)$
Với mọi $n$ xét theo $mod5$ đều không thỏa.
Vậy với $a=pqrt$ ta có:
$$ \left\{\begin{matrix}a\equiv 0,4mod5\rightarrow n=\phi & & \\ a\equiv 1mod5\rightarrow n=5k,5k+4& & \\a\equiv 2mod5\rightarrow n=5k+2 & & \\a\equiv 3mod5\rightarrow n=5k+1,5k+3 & & \\k\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$$
@NLT: Có lẽ không ổn, $a$ ở đây không chỉ có các ước nguyên tố, mà nó còn là các ước nguyên tố với lũy thừa $1$. Một ví dụ phản chứng: với $n=5k+3$, có thể lấy $n=3 \to n^2+n+1=13 \to pqrt=13$, nhưng điều này là không thế
Nếu như bạn nói như vậy thì không phải mình đang đi ngược với yêu cầu bài toán sao, phải là từ số $a$ mà có dạng là $pqrt$(có thể là lũy thừa) rồi mình mới đi tìm $n$ chớ. Trong cái ví dụ phản chứng của bạn thì số $13$ đâu có dạng $pqrt$ đâu
-----------------------------------------------------
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
\[2^{\left ( 3^{n} \right )}+ 1\equiv 0 \mod 3^{n}\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 11-02-2018 sh |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
\[a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{4} \notin Q\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 09-02-2018 sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$a^n-1$ không chia hết cho $n$Bắt đầu bởi 19kvh97, 25-10-2014 sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$ a_{n+1}=a_n+[\sqrt{a_n}] $Bắt đầu bởi 19kvh97, 14-10-2014 ds, sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$19^{n}-97\vdots 2^{t}$Bắt đầu bởi Dung Du Duong, 14-09-2014 sh |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh