Chủ đề này có 2 trả lời

[namcpnh]

Giải phương trình :$n^2+n+1=pqrt$ ( với $n$ là số tự nhiên, $p,q,r,t$ là số nguyên tố).

 

Russian National Oympiad 2013(ML)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 28-04-2013 - 13:11

[thanhdotk14]

Giải phương trình :$n^2+n+1=pqrt$ ( với $n$ là số tự nhiên, $p,q,r,t$ là số nguyên tố).

 

Russian National Oympiad 2013(ML)

Không biết em giải cách này đã ổn chưa nữa, mong anh và các bạn nhắc nhở và góp ý.

______________________________

Đặt $a=pqrt$, khi đó $a$ có các ước số nguyên tố là $p,q,r,t$

Ta xét $a$ theo $mod 5$

$1)$ $a\equiv 0\left ( mod 5 \right )$

Dễ dàng thấy với mọi $n$ xét theo $mod 5$ đều không thỏa.

$2)$ $a\equiv 1\left ( mod5 \right )$

Với $n=5k,5k+4(k\in\mathbb{N})$ ta thấy thỏa.

$3)$ $a\equiv 2\left ( mod5 \right )$

Với $n=5k+2(k\in \mathbb{N})$ ta thấy thỏa.

$4)$ $a\equiv 3\left( mod5\right)$

Với$n=5k+1,5k+3(k\in \mathbb{N})$ ta thấy thỏa.

$5)$ $a\equiv 4\left(mod5\right)$

Với mọi $n$ xét theo $mod5$ đều không thỏa.

Vậy với $a=pqrt$ ta có:

$$ \left\{\begin{matrix}a\equiv 0,4mod5\rightarrow n=\phi  &  & \\ a\equiv 1mod5\rightarrow n=5k,5k+4&  & \\a\equiv 2mod5\rightarrow n=5k+2 & & \\a\equiv 3mod5\rightarrow n=5k+1,5k+3 & & \\k\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 30-04-2013 - 14:43

[thanhdotk14]

Không biết em giải cách này đã ổn chưa nữa, mong anh và các bạn nhắc nhở và góp ý.

______________________________

Đặt $a=pqrt$, khi đó $a$ có các ước số nguyên tố là $p,q,r,t$

Ta xét $a$ theo $mod 5$

$1)$ $a\equiv 0\left ( mod 5 \right )$

Dễ dàng thấy với mọi $n$ xét theo $mod 5$ đều không thỏa.

$2)$ $a\equiv 1\left ( mod5 \right )$

Với $n=5k,5k+4(k\in\mathbb{N})$ ta thấy thỏa.

$3)$ $a\equiv 2\left ( mod5 \right )$

Với $n=5k+2(k\in \mathbb{N})$ ta thấy thỏa.

$4)$ $a\equiv 3\left( mod5\right)$

Với$n=5k+1,5k+3(k\in \mathbb{N})$ ta thấy thỏa.

$5)$ $a\equiv 4\left(mod5\right)$

Với mọi $n$ xét theo $mod5$ đều không thỏa.

Vậy với $a=pqrt$ ta có:

$$ \left\{\begin{matrix}a\equiv 0,4mod5\rightarrow n=\phi  &  & \\ a\equiv 1mod5\rightarrow n=5k,5k+4&  & \\a\equiv 2mod5\rightarrow n=5k+2 & & \\a\equiv 3mod5\rightarrow n=5k+1,5k+3 & & \\k\in \mathbb{N}\end{matrix}\right.$$

 

@NLT: Có lẽ không ổn, $a$ ở đây không chỉ có các ước nguyên tố, mà nó còn là các ước nguyên tố với lũy thừa $1$. Một ví dụ phản chứng: với $n=5k+3$, có thể lấy $n=3 \to n^2+n+1=13 \to pqrt=13$, nhưng điều này là không thế 

Nếu như bạn nói như vậy thì không phải mình đang đi ngược với yêu cầu bài toán sao, phải là từ số $a$ mà có dạng là $pqrt$(có thể là lũy thừa) rồi mình mới đi tìm $n$ chớ. Trong cái ví dụ phản chứng của bạn thì số $13$ đâu có dạng $pqrt$ đâu