Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

$A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Issac Newton

Issac Newton

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Đã gửi 30-04-2013 - 10:24

Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$



#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 30-04-2013 - 11:32



Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$

1 cách tổng quát thì ta có:

\[\boxed{\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } {{{\cos }^{2p}}\left( {\frac{{2k - 1}}{n}.\frac{\pi }{2}} \right)}  = \frac{n}{{{2^{2p + 1}}}}\binom{2p}{p} \quad \left( {p < n} \right) \quad (1)}\]

 

 

Tổng quát hơn nữa:

\[\boxed{\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } {{{\cos }^{2p}}\left( {\frac{{2k - 1}}{n}.\frac{\pi }{2}} \right)}  = \frac{n}{{{2^{2p + 1}}}}\sum\limits_{k =  - \left\lfloor {\frac{p}{n}} \right\rfloor }^{\left\lfloor {\frac{p}{n}} \right\rfloor } {{{\left( { - 1} \right)}^k}\binom{2p}{p + nk}} \quad (2)} \]

 

 

Với $p,n$ là 2 số nguyên dương và ký hiệu $\left\lfloor x \right\rfloor$ là phần nguyên của số thực $x$;$\binom{n}{k}$ là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.

 

Bài toán đầu topic là TH đặc biệt của $(1)$ khi cho $p=3;n=8$.

 

Tham khảo thêm:

File gửi kèm  lũy thừa cosine.pdf   84.78K   38 Số lần tải


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3 mystery266

mystery266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Viet Nam

Đã gửi 30-04-2013 - 12:19

Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$

 

$cos^{6}\frac{\pi}{16}= sin^{6}\frac{7\pi}{16}$

$cos^{6}\frac{3\pi}{16}= sin^{6}\frac{5\pi}{16}$

$A=sin^{6}\frac{7\pi}{16}+sin^{6}\frac{5\pi}{16}+cos^{6}\frac{7\pi}{16}+cos^{6}\frac{5\pi}{16}$

$=sin^{4}\frac{7\pi}{16}-sin^{2}\frac{7\pi}{16}cos^{2}\frac{7\pi}{16}+cos^{4}\frac{7\pi}{16}+cos^{4}\frac{5\pi}{16}-sin^{2}\frac{5\pi}{16}cos^{2}\frac{5\pi}{16}+sin^{4}\frac{5\pi}{16}$

$=(sin^{2}\frac{7\pi}{16}+cos^{2}\frac{7\pi}{16})^{2}+(cos^{2}\frac{5\pi}{16}+sin^{2}\frac{5\pi}{16})^{2}-3sin^{2}\frac{7\pi}{16}cos^{2}\frac{7\pi}{16}-3sin^{2}\frac{5\pi}{16}cos^{2}\frac{5\pi}{16}$

 

$=2-\frac{3}{4}(sin^{2}\frac{7\pi}{8}+sin^{2}\frac{5\pi}{8})$

$=2-\frac{3}{4}(\frac{1-cos\frac{14\pi}{8}+1- cos\frac{10}{8}}{2})$

$=2-\frac{3}{8}(2-(2cos\frac{3\pi}{2}cos\frac{\pi}{4})$

$=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}(sin\pi)(cos\frac{\pi}{4})$

$=\frac{5}{4}$ :icon6: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mystery266: 30-04-2013 - 12:44





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh