Đến nội dung

Hình ảnh

$A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Issac Newton

Issac Newton

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết

Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$



#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết


Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$

1 cách tổng quát thì ta có:

\[\boxed{\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } {{{\cos }^{2p}}\left( {\frac{{2k - 1}}{n}.\frac{\pi }{2}} \right)}  = \frac{n}{{{2^{2p + 1}}}}\binom{2p}{p} \quad \left( {p < n} \right) \quad (1)}\]

 

 

Tổng quát hơn nữa:

\[\boxed{\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^{\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } {{{\cos }^{2p}}\left( {\frac{{2k - 1}}{n}.\frac{\pi }{2}} \right)}  = \frac{n}{{{2^{2p + 1}}}}\sum\limits_{k =  - \left\lfloor {\frac{p}{n}} \right\rfloor }^{\left\lfloor {\frac{p}{n}} \right\rfloor } {{{\left( { - 1} \right)}^k}\binom{2p}{p + nk}} \quad (2)} \]

 

 

Với $p,n$ là 2 số nguyên dương và ký hiệu $\left\lfloor x \right\rfloor$ là phần nguyên của số thực $x$;$\binom{n}{k}$ là tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử.

 

Bài toán đầu topic là TH đặc biệt của $(1)$ khi cho $p=3;n=8$.

 

Tham khảo thêm:

File gửi kèm  lũy thừa cosine.pdf   84.78K   63 Số lần tải


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
mystery266

mystery266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Tính $A=cos^6\frac{\pi }{16}+cos^6\frac{3\pi }{16}+...+cos^6\frac{7\pi }{16}$

 

$cos^{6}\frac{\pi}{16}= sin^{6}\frac{7\pi}{16}$

$cos^{6}\frac{3\pi}{16}= sin^{6}\frac{5\pi}{16}$

$A=sin^{6}\frac{7\pi}{16}+sin^{6}\frac{5\pi}{16}+cos^{6}\frac{7\pi}{16}+cos^{6}\frac{5\pi}{16}$

$=sin^{4}\frac{7\pi}{16}-sin^{2}\frac{7\pi}{16}cos^{2}\frac{7\pi}{16}+cos^{4}\frac{7\pi}{16}+cos^{4}\frac{5\pi}{16}-sin^{2}\frac{5\pi}{16}cos^{2}\frac{5\pi}{16}+sin^{4}\frac{5\pi}{16}$

$=(sin^{2}\frac{7\pi}{16}+cos^{2}\frac{7\pi}{16})^{2}+(cos^{2}\frac{5\pi}{16}+sin^{2}\frac{5\pi}{16})^{2}-3sin^{2}\frac{7\pi}{16}cos^{2}\frac{7\pi}{16}-3sin^{2}\frac{5\pi}{16}cos^{2}\frac{5\pi}{16}$

 

$=2-\frac{3}{4}(sin^{2}\frac{7\pi}{8}+sin^{2}\frac{5\pi}{8})$

$=2-\frac{3}{4}(\frac{1-cos\frac{14\pi}{8}+1- cos\frac{10}{8}}{2})$

$=2-\frac{3}{8}(2-(2cos\frac{3\pi}{2}cos\frac{\pi}{4})$

$=\frac{5}{4}-\frac{3}{4}(sin\pi)(cos\frac{\pi}{4})$

$=\frac{5}{4}$ :icon6: 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mystery266: 30-04-2013 - 12:44





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh