Chủ đề này có 1 trả lời

[mystery266]

$(b+c-a)^{2}(b+a-c)^{2}(c+a-b)^{2}\geq(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(c^{2}+b^{2}-a^{2})$

với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mystery266: 30-04-2013 - 14:04

[Oral1020]

$(b+c-a)^{2}(b+a-c)^{2}(c+a-b)^{2}\geq(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(c^{2}+b^{2}-a^{2})$

với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác

Nhân cả hai về của bất đẳng thức với $3(a^2+b^2+c^2)$,ta được:

$3(a^2+b^2+c^2)(b+c-a)^2(a+c-b)^2(a+b-c)^2 \ge 3(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)$

Dễ thấy $3(a^2+b^2+c^2) \ge (a+b+c)^2$,nên ta cần chứng minh:

$(a+b+c)^2(b+c-a)^2(a+c-b)^2(a+b-c)^2 \ge 3(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2-a^2)(a^2+b^2-c^2)(a^2+c^2-b^2)$

Ta lại có :

$VT=(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4)^2$

$VP=3(2a^4b^4+2b^4c^4+2a^4c^4-a^8-b^8-c^8)$

$\Longrightarrow$ Chúng ta cần phải chứng minh:

$(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4)^2 \ge 3(2a^4b^4+2b^4c^4+2a^4c^4-a^8-b^8-c^8)$

Đặt $x=a^2;y=b^2;z=c^2$ thì ta thấy đây là bất đẳng thức Schur (bậc 4)