Chủ đề này có 11 trả lời

[quantum-cohomology]

Mình thấy có nhiều người trong diễn đàn đang hoạt động trong lãnh vực này, nhân tiện mình có 1 seminar về Stochastic Differential Equations và chuyển động Brown nên muốn post vài bài, tuy nhiên trình độ mình còn hạn chế, mong được các bác chuyên nghiệp chỉ giáo thêm.

Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa 1 : 1 quá trình ngẫu nhiên ( Stochastic process ) là 1 bộ tham số hóa ( parametrized collection ) của các biến ngẫu nhiên ( random variables) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}^n.

Theorem ( Kolmogorov's extension theorem ): Đối với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\nu_{t_1,...,t_k} là 1 độ đo sác xuất trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}^{nk} sao cho:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma trên {1,...,k} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}^n

Vậy thì tồn tại 1 không gian sác xuất http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega , sao cho:


Bây giờ chúng ta chuyển qua chuyển động Brown được nghiên cứu đầu tiên bởi Robert Brown người Scottish, đó là chuyển động của các hạt phân tử trong chất lỏng (irregular motion). Để mô tả quá trình chuyển động này chúng ta cần đến 1 quá trình ngẫu nhiên . Để xây dựng nó người ta cần đến theorem của Kolmogorov để construct 1 family của các độ đo xác xuất, thỏa mãn các tính chất trong theorem nói trên. Chọn cố định 1 điểm và định nghĩa:
với

(Còn nữa).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 27-12-2005 - 21:20

[quantum-cohomology]

Tiếp tục:

Nếu http://dientuvietnam...mimetex.cgi?t_i bằng cách sử dụng tính chất đầu tiên trong theorem của Kolmogorov, do http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega sao cho phân bố hữu hạn chiều được cho bởi công thức tích phân như trên.

Ta nói 1 quá trình như thế được gọi là 1 chuyển động Brown xuất phát tại điểm x. Do đó, định nghĩa của chuyển động Brown không mang tính duy nhất, điều đó có nghĩa là tồn tại rất nhiều bộ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?B_t là 1 quá trình Gauss ( gaussian process).
ii) http://dientuvietnam...mimetex.cgi?B_t có independent increments.

Chú ý rằng, khi nói đến version trong phương trình vi phân ngẫu nhiên thì người ta hiểu như sau: Cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?X_t là 1 version của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Y_t nếu:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_t là version của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Y_t vậy thì chúng có cùng chung 1 phân bố hữu hạn chiều.

Tích phân Ito
Tôi xin phép được trình bày tóm tắt ngắn gọn về khái niệm tích phân Ito, 1 khái niệm cơ bản nhất của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Trong vật lý hay kỹ thuật người ta thường gặp dạng các pt vi phân như sau:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?W_t, từ kỹ thuật người ta đòi hỏi tiếng ồn có 1 số tính chất sau:

i) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma-đại số Borel trên tập hợp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F_t-adapted.
iii) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma-đại số của 1 tập con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Omega. 1 quá trình ngẫu nhiên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N_t-adapted nếu đối với mọi t 0 hàm số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N_t-đo được.

Quay trở lại với định nghĩa trên, 1 hàm số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?B_t là chuyển động Brown 1 chiều.

Phần sau tôi sẽ đưa ra phần giải thích cho việc định nghĩa tích phân Ito như trên. Đối với phần ứng dụng thì tích phân Ito có 1 số tính chất cơ bản và quan trọng như sau:

i) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?F_t-đo được.

(còn tiếp)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 28-12-2005 - 01:30

[tnk]

Tui quan tâm đến cái này, QC có thể pót bài trên theo 1 cách khác ko? Ví dụ vẽ 1 cái hình mô tả chuyển động Brown cụ thể như thế nào,.... Chứ nói thật nếu pót thế kia thì đối với tui là hơi khó nuốt, nói chung nhớ mọi thứ bằng công thức là tui chịu.

[tuanmap]

híc híc híc, mới nhìn đã hoa cả mắt. Mọi người muốn 1 cách để hiểu hơn có thể bắt đầu từ Markov chain. Bài giới thiệu của QC dùng kí hiệu từ measure-theoretic probability theory ===> dễ bị hoa mắt. Nhưng đọc kĩ cũng ok.......

[hoadaica]

minh thay cai tich phan Ito hoi kho chiu. B_t thi khong co dao ham tai bat ki diem nao ca, vay ma lao Ito nay cung co de ra cai dB_t roi lay tich phan, dung thiet. Ma neu ta da biet X_t, va X_t = f(Y_t). Quen mat phai tim Y_t the nao?

[magic]

...Ví dụ vẽ 1 cái hình mô tả chuyển động Brown cụ thể như thế nào,....

Mình đã vẽ cái này rồi nên post nên cho mọi người ngắm qua một version của chuyển động brown, một quá trình Winer chuẩn. Bạn nào cần code thì mình có thể gửi (viết bằng Matlab)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi magic: 30-12-2005 - 05:09

[emvaanh]

Mình vừa thi xong học kì môn này, ông thầy dạy mình là một người Pháp, học chỉ vọn vẹn trong hai tuần mà ổng dạy quá trời, làm tới khi thi học muốn chết luôn!
À, hình như bạn thiếu định nghĩa martingale thì phải, mình rất ấn tượng về cái này (vì trong bài thi có 6 bài thì 2 bài là giải tích phức, còn lại 4 bài đều dính tới matingale). À còn một công thức quan trọng là công thức Ito's không biết đã có chưa ta, nếu chưa có thì các bạn bổ sung thêm đi ha. Mình dạo này bận thi HK nên không rãnh lắm, đã 3 tuần rồi mình chưa lên diễn đàn đó....

[quantum-cohomology]

Gọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\nu là lớp các hàm số định nghĩa ở trên, 1 hàm số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\nu ta định nghĩa tích phân Ito thông qua giới hạn như sau:

nếu là dãy các hàm elementary so cho kỳ vọng toán học:

.

Quá trình Ito và công thức Ito : Trước hết là trường hợp 1 chiều:

[shinichi9htv]

Anh chị (bạn) cho em (tớ) hỏi bài này với:

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?W_{t} là 1 chuyển động Brown.
Tính http://dientuvietnam...tex.cgi?|W_{t}| biết http://dientuvietnam...tex.cgi?|W_{T}|)

[quantum-cohomology]

Sử dụng martingal vì chuyển động Brown có tính chất này, nhưng mình không hiểu ký hiệu http://dientuvietnam...imetex.cgi?dB_t trong đó http://dientuvietnam...mimetex.cgi?B_t là chuyển động Brown thì Kỳ vọng toán học của nó bằng 0.
Hơn nữa bạn cần nói rõ thêm Kỳ vọng toán học của bạn đưa ra là có điều kiện theo http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sigma-Đại số nào? Thực ra thì không quan trọng vì tính martingal.

[shinichi9htv]

kí hiệu http://dientuvietnam...tex.cgi?|W_{t}| tức là trị tuyệt đối của http://dientuvietnam...etex.cgi?W_{t}| thôi, (sigma đại số bình thường, sinh bởi các tập W_{t} thôi). Cái này có trị tuyệt đối nên nó không thể = 0 được. Nó sẽ phải có dạng http://dientuvietnam...etex.cgi?a|W_T| (mình nghĩ thế, ko dám chắc )

[ttthoan]

Xin lỗi, bạn nào có cours về Martingale, Chaîne Markov, Mouvement Brownien cho mình xin, nếu ai có lòng hảo tâm thì cho mình hỏi riêng được ko.
Mình thật sự ko hiểu 3 chương này, sau chương Conditionel thì ko hiểu gì nữa!!!