Chủ đề này có 2 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn:

$a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}= \frac{3}{2}$

Chứng minh rằng : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$

[25 minutes]

Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn:

$a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}= \frac{3}{2}$

Chứng minh rằng : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{2}$

Đặt $P=a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}$

Ta sẽ chứng minh $P \leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow P^2 \leq \frac{9}{4}$

Áp dụng bdt B.C.S ta có 

   $P^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(3-a^2-b^2-c^2)=t(3-t)$ với $t=a^2+b^2+c^2$

Do đó $P^2 \leq \frac{9}{4}\Leftrightarrow t(3-t) \leq \frac{9}{4}\Leftrightarrow (t-\frac{3}{2})^2 \leq 0$

Nhưng bdt trên luôn đúng

Vậy ta có $P \leq \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Khi đó $a^2+b^2+c^2 =\frac{3}{2}$

[Trang Luong]

Ta có:$a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}}=\frac{3}{2}\Rightarrow 2\left ( a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}} \right )=3$

Áp dụng BĐT AM-GM

mà $2\left ( a\sqrt{1-b^{2}}+b\sqrt{1-c^{2}}+c\sqrt{1-a^{2}} \right )\leq \left ( a^{2}+1-b^{2}+b^{2}+1-c^{2}+c^{2}+1-a^{2} \right )=3$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \sum a^{2}=\frac{3}{2}$