Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$af(f(x))=bf(x)+cx$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Mathematics, physics, english, and traveling

Đã gửi 03-05-2013 - 10:27

Một bài trên  mathlink : Tìm hàm liên tục $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:

 

$af(f(x))=bf(x)+cx$

 



#2 bachocdien

bachocdien

    Hạ sĩ

  • Biên tập viên
  • 62 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Mathematics, physics, english, and traveling

Đã gửi 04-05-2013 - 10:38

Sau đây là lời giải của pco mình dịch và post cho mọi người tham khảo:

 

Do không có giới hạn, điều kiện gì của $a,b,c$ do đó ta xét các trường hợp sau:

 

TH1: nếu $a=b=c=0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $f(x)$

 

TH2: $a=b=0$ và $c\neq 0$: phương trinh vô nghiệm

 

TH3: $a=0$ và $b\neq 0$: nghiệm duy nhất: $f(x)=\frac{-cx}{b}$

 

TH4: $a\neq 0$ và $b=c=0$: phương trình trở thành : $f(f(x))=0$ và vì vậy $f(x)=0, \forall x\in f(\mathbb{R})$, và $f(\mathbb{R})$ là 1 khoảng, do đó ta có các trường hợp nhỏ:

 

TH4.1:  $f(\mathbb{R})=R$, nghiệm duy nhất $f(x)=0  \forall x$

 

TH4.2:  $f(\mathbb{R})=[a,+\infty )$, với $a\leq 0$

 

Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $(-\infty ,a]$ đến $[a,+\infty )$ sao cho $h(a)=0$

 

do đó, $h(x)=f(x) \forall x <a$ và $f(x)=0 \forall x\geq a$

 

TH4.3:  $f(\mathbb{R})=(a,+\infty )$, với $a<0$

 

Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $(-\infty ,a]$ đến $(a,+\infty )$ sao cho $h(a)=0$

 

do đó, $h(x)=f(x) \forall x <a$ và $f(x)=0 \forall x\geq a$

 

TH4.4:  $f(\mathbb{R})=[-\infty ,a]$, với $a\geq 0$

 

Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $[a,+\infty )$ đến $(-\infty ,a]$ sao cho $h(a)=0$

 

do đó, $h(x)=f(x) \forall x >a$ và $f(x)=0 \forall x\leq a$

 

TH4.5:  $f(\mathbb{R})=[-\infty ,a)$, với $a>0$

 

Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $[a,+\infty )$ đến $(-infty ,a)$ sao cho $h(a)=0$

 

do đó, $h(x)=f(x) \forall x >a$ và $f(x)=0 \forall x\leq a$

 

TH4.6: $f(\mathbb{R})=[a, b]$, với $a\leq 0\leq b$

 

Đặt $h(x)$ là 1 hàm liên tục từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ sao cho $h(\mathbb{R} \ (a,b))=[a, b]$ và $h(a)= h(b)= 0$

 

do đó, $h(x)=f(x) \forall x \notin [a, b]$ và $f(x)=0 \forall x\in [a, b]$

 

TH4.7: $f(\mathbb{R})=[a, b)$, với $a\leq 0< b$

 

Đặt $h(x)$ là 1 hàm liên tục từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ sao cho $h(\mathbb{R} \ (a,b))=[a, b)$ và $h(a)= h(b)= 0$

 

do đó, $h(x)=f(x) \forall x \notin [a, b]$ và $f(x)=0 \forall x\in [a, b]$

 

TH4.8: $f(\mathbb{R})=(a, b]$, với $a< 0\leq b$

 

Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ sao cho $h(\mathbb{R} \ (a,b))=(a, b]$ và $h(a)= h(b)= 0$

 

do đó, $h(x)=f(x) \forall x \notin [a, b]$ và $f(x)=0 \forall x\in [a, b]$

 

TH4.9:  $f(\mathbb{R})=(a, b)$, với $a< 0< b$

 

Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ sao cho $h(\mathbb{R} \ (a,b))=(a, b)$ và $h(a)= h(b)= 0$

 

do đó, $h(x)=f(x) \forall x \notin [a, b]$ và $f(x)=0 \forall x\in [a, b]$

 

TH5: $a\neq 0, b=0, c\neq 0$ phương trình $f(f(x))=tx$ với $t=\frac {c}{a}\neq 0$

$f(x)$ là song ánh, liên tục và đơn điệu

vì vậy, $f(f(x))$ là 1 hàm tăng 

 

TH5.1: Nếu $t<0$ ($ac<0$), vô nghiệm

 

TH5.2: Nếu $1>t>0$ ($a>c>0$ hoặc $a<c<0$) 

 

5.2.1:

 

$\forall x>0$,

 

cho $a\in (t,1)$

 

$h_{1}(x)$ là song ánh tăng liên tục từ $[a,1]$ đến $[t,a]$

 

Xác định $f(x)$: 

 

$\forall x\in (a, 1] : f(x)= h_{1}(x)$

 

$\forall x\in (t, a] : f(x)= t(h_{1})^{-1}x$

 

$\forall x\in (0,t]\cap (1, +\infty) : f(x)= t^{\left \lfloor log_{t}x \right \rfloor}f(xt^{-\left \lfloor log_{t}x \right \rfloor})$

 

 

$\forall x<0$,

 

cho $b\in (-1,-t)$

 

$h_{2}(x)$ là song ánh tăng liên tục từ $[-1,b]$ đến $[b,-t]$

 

Xác định $f(x)$: 

 

$\forall x\in [-1, b) : f(x)= h_{2}(x)$

 

$\forall x\in [b, -t) : f(x)= t(h_{2})^{-1}x$

 

$\forall x\in (-\infty, -1)\cap [-t, 0) : f(x)= t^{\left \lfloor log_{t}-x \right \rfloor}f(xt^{-\left \lfloor log_{t}-x \right \rfloor})$

 

 

 

 






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh