Một bài trên mathlink : Tìm hàm liên tục $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$af(f(x))=bf(x)+cx$
Một bài trên mathlink : Tìm hàm liên tục $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$af(f(x))=bf(x)+cx$
Sau đây là lời giải của pco mình dịch và post cho mọi người tham khảo:
Do không có giới hạn, điều kiện gì của $a,b,c$ do đó ta xét các trường hợp sau:
TH1: nếu $a=b=c=0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $f(x)$
TH2: $a=b=0$ và $c\neq 0$: phương trinh vô nghiệm
TH3: $a=0$ và $b\neq 0$: nghiệm duy nhất: $f(x)=\frac{-cx}{b}$
TH4: $a\neq 0$ và $b=c=0$: phương trình trở thành : $f(f(x))=0$ và vì vậy $f(x)=0, \forall x\in f(\mathbb{R})$, và $f(\mathbb{R})$ là 1 khoảng, do đó ta có các trường hợp nhỏ:
TH4.1: $f(\mathbb{R})=R$, nghiệm duy nhất $f(x)=0 \forall x$
TH4.2: $f(\mathbb{R})=[a,+\infty )$, với $a\leq 0$
Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $(-\infty ,a]$ đến $[a,+\infty )$ sao cho $h(a)=0$
do đó, $h(x)=f(x) \forall x <a$ và $f(x)=0 \forall x\geq a$
TH4.3: $f(\mathbb{R})=(a,+\infty )$, với $a<0$
Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $(-\infty ,a]$ đến $(a,+\infty )$ sao cho $h(a)=0$
do đó, $h(x)=f(x) \forall x <a$ và $f(x)=0 \forall x\geq a$
TH4.4: $f(\mathbb{R})=[-\infty ,a]$, với $a\geq 0$
Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $[a,+\infty )$ đến $(-\infty ,a]$ sao cho $h(a)=0$
do đó, $h(x)=f(x) \forall x >a$ và $f(x)=0 \forall x\leq a$
TH4.5: $f(\mathbb{R})=[-\infty ,a)$, với $a>0$
Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $[a,+\infty )$ đến $(-infty ,a)$ sao cho $h(a)=0$
do đó, $h(x)=f(x) \forall x >a$ và $f(x)=0 \forall x\leq a$
TH4.6: $f(\mathbb{R})=[a, b]$, với $a\leq 0\leq b$
Đặt $h(x)$ là 1 hàm liên tục từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ sao cho $h(\mathbb{R} \ (a,b))=[a, b]$ và $h(a)= h(b)= 0$
do đó, $h(x)=f(x) \forall x \notin [a, b]$ và $f(x)=0 \forall x\in [a, b]$
TH4.7: $f(\mathbb{R})=[a, b)$, với $a\leq 0< b$
Đặt $h(x)$ là 1 hàm liên tục từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ sao cho $h(\mathbb{R} \ (a,b))=[a, b)$ và $h(a)= h(b)= 0$
do đó, $h(x)=f(x) \forall x \notin [a, b]$ và $f(x)=0 \forall x\in [a, b]$
TH4.8: $f(\mathbb{R})=(a, b]$, với $a< 0\leq b$
Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ sao cho $h(\mathbb{R} \ (a,b))=(a, b]$ và $h(a)= h(b)= 0$
do đó, $h(x)=f(x) \forall x \notin [a, b]$ và $f(x)=0 \forall x\in [a, b]$
TH4.9: $f(\mathbb{R})=(a, b)$, với $a< 0< b$
Đặt $h(x)$ là 1 toàn ánh liên tục từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ sao cho $h(\mathbb{R} \ (a,b))=(a, b)$ và $h(a)= h(b)= 0$
do đó, $h(x)=f(x) \forall x \notin [a, b]$ và $f(x)=0 \forall x\in [a, b]$
TH5: $a\neq 0, b=0, c\neq 0$ phương trình $f(f(x))=tx$ với $t=\frac {c}{a}\neq 0$
$f(x)$ là song ánh, liên tục và đơn điệu
vì vậy, $f(f(x))$ là 1 hàm tăng
TH5.1: Nếu $t<0$ ($ac<0$), vô nghiệm
TH5.2: Nếu $1>t>0$ ($a>c>0$ hoặc $a<c<0$)
5.2.1:
$\forall x>0$,
cho $a\in (t,1)$
$h_{1}(x)$ là song ánh tăng liên tục từ $[a,1]$ đến $[t,a]$
Xác định $f(x)$:
$\forall x\in (a, 1] : f(x)= h_{1}(x)$
$\forall x\in (t, a] : f(x)= t(h_{1})^{-1}x$
$\forall x\in (0,t]\cap (1, +\infty) : f(x)= t^{\left \lfloor log_{t}x \right \rfloor}f(xt^{-\left \lfloor log_{t}x \right \rfloor})$
$\forall x<0$,
cho $b\in (-1,-t)$
$h_{2}(x)$ là song ánh tăng liên tục từ $[-1,b]$ đến $[b,-t]$
Xác định $f(x)$:
$\forall x\in [-1, b) : f(x)= h_{2}(x)$
$\forall x\in [b, -t) : f(x)= t(h_{2})^{-1}x$
$\forall x\in (-\infty, -1)\cap [-t, 0) : f(x)= t^{\left \lfloor log_{t}-x \right \rfloor}f(xt^{-\left \lfloor log_{t}-x \right \rfloor})$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh