Chủ đề này có 1 trả lời

[i love math so much]

cho 3 số a,b,c dương. chứng minh rằng: 

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \frac{b^3}{b^2+cb+c^2} +\frac{c^3}{c^2+ca+a^2} \ge\frac{a+b+c}{3}$

[Christian Goldbach]

Ta có:

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}= a-\frac{ab^2+a^2b}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}$

Ta cm:

$\frac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\leq \frac{a+b}{3}\Leftrightarrow (a+b)(a^2+ab+b^2)-3ab(a+b)\geq 0\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\geq 0(true)$

Do đó:

$\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \sum a-\frac{a+b}{3}=\frac{a+b+c}{3}\Rightarrow Q.E.D$