Chủ đề này có 4 trả lời

[namcpnh]

Tìm tất cả các sô nguyên dương $x$ sao cho $2x^2-2x+1$là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 04-05-2013 - 15:20

[bachhammer]

Viết lại thành phương trình dang Py-ta-go:$x^{2}+(x-1)^{2}=y^{2}$.Khi đó ta suy ra nghiệm nhỏ nhất của phương trình có dạng $x=2mn$ và $x-1=m^{2}-n^{2}$. Khi đó biển đổi ta được phương trình: $m^{2}-2mn-n^{2}+1=0$. Tìm m,n là xong. À mà nhìn vào ta có thể thấy x=4 là một nghiệm.

Nhân tiện xin chào đồng hương namcpnh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 04-05-2013 - 11:36

[Supermath98]

Nếu mà chỉ nhìn luận nghiệm thì x=0 cũng là nghiệm

[WhjteShadow]

 Her đề bài phải là tìm $x$ chứ bạn  

Xin lỗi nhưng mình nhắc bạn ba0 nhiêu lần vì spam vớ vẩn rồi ? 

 

Viết lại thành phương trình dang Py-ta-go:$x^{2}+(x-1)^{2}=y^{2}$.Khi đó ta suy ra nghiệm nhỏ nhất của phương trình có dạng $x=2mn$ và $x-1=m^{2}-n^{2}$. Khi đó biển đổi ta được phương trình: $m^{2}-2mn-n^{2}+1=0$. Tìm m,n là xong. À mà nhìn vào ta có thể thấy x=4 là một nghiệm.

Nhân tiện xin chào đồng hương namcpnh.

:v Bạn ơi làm nốt hộ mình cái pt cuối, bạn định biến nó thành Pell hay Markov ?

-------------------------

Đặt $2x^2-2x+1=n^2$ với $n>0$ ta biến đổi :

$$2x^2-2x+1=n^2\Leftrightarrow (2x-1)^2-2n^2=-1$$

Nhận thấy đây là pt Pell loại 2, nó có nghiệm khởi đầu $(2x-1;n)=(1;1)$ nên toàn bộ nghiệm của nó được xác định bởi công thức :

$$\left\{\begin{matrix} 2x-1+n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^{2k+1}\\ 2x-1-n\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^{2k+1} \end{matrix}\right.$$

(Với $k\in \mathbb{Z}^{+}$)

Suy ra :

$$2(2x-1)=(1+\sqrt{2})^{2k+1}+(1-\sqrt{2})^{2k+1}$$

Vậy tóm lại :

$$\boxed{x=\frac{(1+\sqrt{2})^{2k+1}+(1-\sqrt{2})^{2k+1}+2}{4}}$$

[namcpnh]

Viết lại thành phương trình dang Py-ta-go:$x^{2}+(x-1)^{2}=y^{2}$.Khi đó ta suy ra nghiệm nhỏ nhất của phương trình có dạng $x=2mn$ và $x-1=m^{2}-n^{2}$. Khi đó biển đổi ta được phương trình: $m^{2}-2mn-n^{2}+1=0$. Tìm m,n là xong. À mà nhìn vào ta có thể thấy x=4 là một nghiệm.

Nhân tiện xin chào đồng hương namcpnh.

 

Cái này bachhammer chắc là tính đưa về Pell loại 2.

 

$m^{2}-2mn-n^{2}+1=0$

 

<=>$(m-n)^2-2n^2=-1$.

 

Từ đây theo cách tính của Đạt ta có thể tìm được $m,n$ rồi suy ra $x$.

 

Tuy nhiên cách này dài và không hay bằng cách của Đạt, ý tưởng chính để giải các bài không thể đưa về dạng tích chính là PT Pell loại 1 hoặc 2.