Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau : $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x+y}=2014$

[Math Is Love]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau : $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x+y}=2014$

Dễ thấy $x;y$ nguyên dương. Ta sẽ thay $2014$ bởi một số $t$ nguyên dương bất kì để tổng quát bài toán.

Có thể coi $ \gcd(x;y)=1$ vì nếu không ta chia cả hai vế cho $\sqrt{\gcd(x;y)}$ thì ta được một bài toán tương tự ban đầu.

Vì VP là số nguyên dương nên $x=a^2;y=b^2;x+y=a^2+b^2=c^2$

Theo phương trình $Pythagore$ với  $\gcd(x;y)=1$ thì ta có:

$\left\{\begin{matrix} x=4p^2q^2\\ y=(p^2-q^2)^2 \\ x^2+y^2=(p^2+q^2)^2 \end{matrix}\right.$ 

(vì $x;y$ vai trò như nhau nên ta giả sử $x$ chẵn và y lẻ)

Thay vào,ta có:

$2p^2+2pq=t$

Đây là phương trình tích nên dễ dàng giải được phương tình này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 05-05-2013 - 11:27
Latex