Chủ đề này có 1 trả lời

[jb7185]

Tính $I=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{dx}{(2sinx+1)sin^2x}$

[trangxoai1995]

Tính $I=\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{dx}{(2sinx+1)sin^2x}$

Mình tính nguyên hàm, còn bạn tự thế cận vào để tính nhé.

$I=\int \frac{dx}{sin^2x(2sinx+1)}=\int [\frac{1}{sin^2x}+\frac{4}{2sinx+1}-\frac{2}{sinx}]dx$$=\int \frac{1}{sin^2x}dx+\int \frac{4}{2sinx+1}dx-\int \frac{2}{sinx}dx$. 

Tính: $I_1=\int \frac{1}{sin^2x}dx=-cotx+C$

$I_2=\int \frac{1}{2sinx+1}dx=\int \frac{1}{2(sin^2\frac{x}{2}+cos^2\frac{x}{2})+4sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}-1}$

      $=\int \frac{1}{4sin^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right )-1}dx$

      $=\int \frac{1}{sin^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right )(3-cot^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right ))}dx$

      $=\int \frac{-2(cot\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right ))'}{3-cot^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right )}dx=\int \frac{-2}{3-cot^2\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right )}d(cot\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right ))$.

Đặt: $cot\left ( \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4} \right )=t$. Ta được: $\int \frac{2}{3-t^2}dt$$=\int \frac{2}{(\sqrt{3}-t)(\sqrt{3}+t)}dt$

$=\frac{\sqrt{3}}{3}(\int \frac{1}{\sqrt{3}-t}dt+\int \frac{1}{\sqrt{3}+t}dt)$. Đến đây bạn tự tính tiếp $I_2$

$I_3=\int \frac{1}{sinx}dx=\int \frac{sinx}{sin^2x}dx=\int \frac{-(cosx)'}{1-cos^2x}dx=\int \frac{-1}{1-cos^2x}d(cosx)$

Đặt: $cosx=t$. Ta được: $\int \frac{-1}{1-t^2}dt$. Đây là nguyên hàm cơ bản. Bạn tự làm tiếp nhé.