Chủ đề này có 6 trả lời

[thangthaolinhdat]

Cho $a,b,c \geqslant 0$ , tm: a+b+c=3. CMR

$a+ab+abc \leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 13:55

[Nguyen Duc Thuan]

Cho $a,b,c\geq0$ , tm: a+b+c=3. CMR

$a+ab+abc \leq 4$

Ta có: $a+ab+abc=a(1+b+bc)\leq a(1+b+c+bc)=a(b+1)(c+1)$

Áp dụng AM-GM 3 số: $a(b+1)2(c+1).\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a+b+1+2c+2}{3} \right )^3$

$\leq \frac{1}{2}.(\frac{a+b+c+3}{3})^3=4$

Từ đó có dpcm, dấu '=' khi a=2, b=1, c=0

[25 minutes]

Ta có: $a+ab+abc=a(1+b+bc)\leq a(1+b+c+bc)=a(b+1)(c+1)$

Áp dụng AM-GM 3 số: $a(b+1)2(c+1).\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a+b+1+2c+2}{3} \right )^3$

$\leq \frac{1}{2}.(\frac{a+b+c+3}{3})^3=4$

Từ đó có dpcm, dấu '=' khi a=2, b=1, c=0

Giải thích hộ anh chỗ này cái 

Dễ thấy $\frac{1}{2}.(\frac{a+b+1+2c+2}{3})^3=\frac{1}{2}.(\frac{6+c}{3})^3\geq \frac{1}{2}.(\frac{a+b+c+3}{3})^3$

[andymurray44]

Ta có: $a+ab+abc=a(1+b+bc)\leq a(1+b+c+bc)=a(b+1)(c+1)$

Áp dụng AM-GM 3 số: $a(b+1)2(c+1).\frac{1}{2}\leq \frac{1}{2}.\left ( \frac{a+b+1+2c+2}{3} \right )^3$

$\leq \frac{1}{2}.(\frac{a+b+c+3}{3})^3=4$

Từ đó có dpcm, dấu '=' khi a=2, b=1, c=0

Cách này được phết!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 05-05-2013 - 19:09

[Nguyen Duc Thuan]

Giải thích hộ anh chỗ này cái 

Dễ thấy $\frac{1}{2}.(\frac{a+b+1+2c+2}{3})^3=\frac{1}{2}.(\frac{6+c}{3})^3\geq \frac{1}{2}.(\frac{a+b+c+3}{3})^3$

Theo em thì do lúc trước đã AM-GM, nên lúc sau cần duy trì dấu "=" cho đúng

 

Cần duy trì dấu = trong suốt quá trình chứng minh bđt là đúng, nhưng rõ ràng bđt em duy trì là sai rồi ?

 

Cảm ơn anh, em bị ngc dấu!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Thuan: 05-05-2013 - 19:35

[25 minutes]

Theo em thì do lúc trước đã AM-GM, nên lúc sau cần duy trì dấu "=" cho đúng

Cần duy trì dấu = trong suốt quá trình chứng minh bđt là đúng, nhưng rõ ràng bđt em duy trì là sai rồi ?

[KietLW9]

Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được: $a+ab+abc=a+ab(1+c)\leqslant a+a.\frac{(b+c+1)^2}{4}=a+a.\frac{(4-a)^2}{4}$

Ta cần chứng minh: $a+a.\frac{(4-a)^2}{4}\leqslant 4\Leftrightarrow (4-a)(a-2)^2\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng do $0\leqslant a\leqslant 3$ nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=2;b=1;c=0$