Đến nội dung

Hình ảnh

$A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}.$

- - - - - cực trị đại số lớp 8

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
PhuongPhu281999

PhuongPhu281999

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

Giải giúp em mấy bài cực trị này với ạk???

Câu 1:

  Cho a;b >0 và a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}.$ 

Câu 2:

  Cho x;y;z >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$

Mong mọi người giúp đỡ ạ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 05-05-2013 - 15:04


#2
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Gợi ý:

1)

Ta có: $A=\dfrac{1}{2ab}+(\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2})$

Tới đây thì chúng ta sẽ áp đụng bất đẳng thức Schwartz cho hai hạng tử ở trong ngoặc $(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y})$.

Còn việt đánh giá $\dfrac{1}{2ab}$ thì áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$,ta có :$2ab \le \dfrac{(a+b)^2}{2}$

2)

Đặt $\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b;\sqrt{z}=c$,ta viết biểu thức $P$ thành:

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}$.

Ta dự đoán min của $P$ sẽ là $\dfrac{3}{2}$ xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z$,nên ta sẽ chứng minh:

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$

Cái này thì bạn xem tại đây


"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#3
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết

Giải giúp em mấy bài cực trị này với ạk???

Câu 1:

  Cho a;b >0 và a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}.$ 

Câu 2:

  Cho x;y;z >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.$

Mong mọi người giúp đỡ ạ

Bài 1: Ta có $P=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2})$

Áp dụng AM-GM ta có $ab\leq (\frac{a+b}{2})^2=\frac{1}{4}$

                                   $\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2} \geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=4$

Do đó $P \geq 2+4=6$

Dấu = xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Bài 2 : Ta có $P=\frac{x}{\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}+\frac{y}{\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}+\frac{z}{\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}$

Do đó $P \geq \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{2(\sqrt{xz}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})}\geq \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z>0$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4
PhuongPhu281999

PhuongPhu281999

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết

Cảm ơn ạk :luoi:







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cực trị đại số, lớp 8

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh