Đến nội dung

Hình ảnh

Số nguyên tố, hợp số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Cho a, b, c là các số tự nhiên đôi một phân biệt thỏa mãn :

$a^{2} + d^{2} = b^{2} + c^{2} = P$

chứng minh rằng : 

1. P là hợp số

2. ab + cd và ac + bd không thể đồng thời là số nguyên tố



#2
minhduc3001

minhduc3001

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

 Bài này có trong toán tuổi trẻ đấy bạn.



#3
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Cho a, b, c,d là các số tự nhiên đôi một phân biệt thỏa mãn :

$a^{2} + d^{2} = b^{2} + c^{2} = P$

chứng minh rằng : 

1. P là hợp số

2. ab + cd và ac + bd không thể đồng thời là số nguyên tố

Bài này dễ

Giải như sau:

1) GIả sử phản chứng $P$ là snt

$(ab+cd)(ac+bd)=bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2) \vdots P$

Nên hoặc $ab+cd,ac+bd \vdots P$ không mất tq, gs $P|ab+cd$
Khi đó $(a^2+d^2)(b^2+c^2)=P^2 \Rightarrow (ab+cd)^2+(ac-bd)^2=P^2$ mà $P|ab+cd$ và $(ab+cd)^2\le P^2$ nên $ab+cd=P,ac-bd=0$
Mà $a^2+d^2=P$ nguyên tố nên $gcd(a,d)=1$ tương tự $gcd(b,c)=1$ kết hợp $ac=bd$ suy ra $a=b,c=d$ vô lí

Giả sử p chứng sai nên có đpcm

2) $(ab+cd)(ac+bd)=bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2) \vdots P$

Do đó nếu $ab+cd,ac+bd$ đồng thời là snt giả sử $ab+cd=r,ac+bd=q$ thì $ab+cd-(ac+bd)=(a-d)(b-c)=r-q \neq 0$ do $a,d,b,c$ đôi một phân biệt

Nên $r\neq q$ theo câu 1, $P$ không thể là snt mà $P|qr$ nên $P=qr$ và $P\neq 1$ vì $P=1$ thì $a,b,c,d$ ko đôi một phân biệt

Như vậy $a^2+d^2=P=qr=(ac+bd)(ab+cd)=bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)$ và $b^2+c^2=bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)$ mà trong bốn số $a,b,c,d$ cùng lắm chỉ có 1 số $=0$ vì ngược lại thì mâu thuẫn, khi ấy $bc,ad$ sẽ có một số khác $0$ giả sử là $bc$ thì $a^2+d^2\le bc(a^2+d^2)+ad(b^2+c^2)$ dấu $=$ đạt được khi $ad=0$ và $bc=1$ khi đó $b=c=1$ mâu thuẫn vì $b\neq c$
Do đó điều giả sử là sai nên có $đpcm$

 

 

 

 

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh