Tìm số tự nhiên 6 chữ số đôi một khác nhau.Khi nhân số đó lần lượt với 2,3,..,6 ta được 5 số mới.5 số này có các chữ số giống số ban đầu chỉ sai về thứ tự(mỗi chữ số chỉ được viết 1 lần).
#1
Đã gửi 05-05-2013 - 19:03
#2
Đã gửi 30-05-2013 - 11:23
Gọi số phải tìm là A
Vì 6A có 6 chữ số nên 6A < $10^{6}$$\Rightarrow A < 2. 10^{5}$ $\Rightarrow$ chữ số hàng trăm nghìn của A là 1 , mà A có 6 chữ số khác nhau nên chữ số hàng đơn vị của A khác 1 $\Rightarrow$ Trong các số 2A, 3A, 4A, 5A, 6A có 1 số có hàng đơn vị là 1.
Mà 1 lẻ, 2A, 4A, 6A là các số chẵn, còn 5A có tận cùng khác 1 nên 3A có hàng đơn vị bằng 1.
$\Rightarrow$ hàng đơn vị của A là 7 $\Rightarrow$ hàng đơn vị của A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A (cũng là 6 chữ số của A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A) là 7, 4, 1, 8, 5, 2
Đặt A = $\overline{1abcd7}$ . Xét phép nhân $\overline{1abcd7}$ $\times$ 5 = $\overline{efghi5}$
7.5 = 35 nên i là chữ số hàng đơn vị của d.5+3 . Nếu d chẵn thì i = 3 vô lý . Vậy d lẻ nên i = 8 ; d lẻ mà $d \neq$ 1 và 7 nên d = 5
có 7. 5 + 3 = 28 nên h là hàng đơn vị của c.5 +2. Vì c = 4, 8, hoặc 2 nên c chẵn $\Rightarrow$ h = 2
$\Rightarrow$ số 5A còn lại 3 chữ số 1, 4, 7 mà 5A > $5. 10^{5}$ nên e = 7 $\Rightarrow$ 5A = 714285 hoặc 741285
Nếu 5A = 741285 thì 2A = 296514 không thỏa mãn.
Nếu 5A = 714285 thì A = 142857. Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy số phải tìm là 142857
Nhắn tin : Bài này có trong sách, lâu rồi mình không nhớ ở sách nào nữa. Trong sách chứng minh được 6 chữ số của A là 1, 2, 4, 5, 7,8 rồi chứng minh trong 6 số A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A không có 2 số nào có chữ số ở cùng hàng giống nhau .
Từ đó có A + 2A + 3A + 4A + 5A + 6A = (1+2+4+ 5+ 7 + 8 ) ( $10^{5}+ 10^{4} + 10^{3} + 10^{2} +10 +1$ ) $\Rightarrow$ 21A = 27 . 111111 $\Rightarrow$ A = 142857
Ai nhớ cách chứng minh này bảo mình với.
- unlimitedcreativity và Element hero Neos thích
Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)
Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)
#3
Đã gửi 30-05-2013 - 16:55
Gọi số phải tìm là A
Vì 6A có 6 chữ số nên 6A < $10^{6}$$\Rightarrow A < 2. 10^{5}$ $\Rightarrow$ chữ số hàng trăm nghìn của A là 1 , mà A có 6 chữ số khác nhau nên chữ số hàng đơn vị của A khác 1 $\Rightarrow$ Trong các số 2A, 3A, 4A, 5A, 6A có 1 số có hàng đơn vị là 1.
Đoạn này vẫn chưa chặt chẽ. Bổ sung :
Giả sử cả 6 số A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A không số nào có hàng đơn vị là 1 thì hàng đơn vị của 6 số này chỉ nhận 1 trong 5 giá trị nên có 2 số có hàng đơn vị giống nhau. Giả sử đó là $\alpha$A và $\beta$A với $1\leq \alpha < \beta \leq 6$
$\Rightarrow$ số $(\beta -\alpha )A$ có hàng đơn vị bằng 0 ( $1\leq (\beta -\alpha )\leq 5$ ) $\Rightarrow$ Trong cả 6 số A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A đều có số 0
Mà hàng trăm nghìn của 6 số A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A luôn khác 0 nên chỉ nhận 1 trong 5 giá trị $\Rightarrow$ có 2 số có hàng trăm nghìn giống nhau
Giả sử đó là $\lambda A$ và $\mu A$ với $1\leq \lambda < \mu \leq 6$ $\Rightarrow (\mu -\lambda )A < 10^{5}$
$\Rightarrow$ số $(\mu -\lambda )A$ ($1\leq \mu -\lambda \leq 5$ ) không có 6 chữ số (vô lý)
Vậy trong 6 số A, 2A, 3A, 4A, 5A, 6A có 1 số có hàng đơn vị là 1 ( làm tiếp như trên )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 30-05-2013 - 16:59
- Element hero Neos yêu thích
Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)
Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Tìm các hợp số n s/c $n\sigma (n) \equiv 2 (mod \varphi (n))$Bắt đầu bởi Explorer, 11-09-2022 số học, hàm số học, euler, hợp số và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Cho a,b,m ngdg TM: (a,m)=(b,m)=1,$a^{x}\equiv b^{x}$ (mod m),$a^{y}\equiv b^{y}$ (mod m).CMR $a^{gcd(x,y)}\equiv b^{gcd(x,y)}$ (mod m)Bắt đầu bởi Explorer, 22-06-2022 số học, số, đồng dư, mod và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
CMR: $f([p/3]+1);...;f(p-2)\in \wp$Bắt đầu bởi Dam Uoc Mo, 29-10-2016 số |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$f(mf(n))=f(m).n^{2}$Bắt đầu bởi Dam Uoc Mo, 24-10-2016 số |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Các dạng toán khác →
C/m các bt sau không thể có cùng giá trị âm: ab-a-b+1 ; bc-b-c+1 và ac-a-c+1Bắt đầu bởi th1010, 05-05-2016 về, số, học. |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh