Chủ đề này có 5 trả lời

[em yeu chi anh]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$ f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2.f(y)+f(y^2)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi em yeu chi anh: 06-05-2013 - 18:58

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$ f(f(x)-f(y))=f(f(x))-2x^2.f(y)+f(y^2)$$

Dễ thấy $f(x)=0$ là 1 hàm thỏa mãn

Ta tìm 1 hàm khác.

Với $f(x)=f(y) \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=\pm y$

Cho $x=y=0$ có $f(0)=f(f(0))+f(0) \Rightarrow f(f(0))=0$

Cho $x=y=f(0)$ có $f(0)=f(f(f(0)))-2(f(0))^2f(f(0))+f((f(0))^2)$

$\Rightarrow f((f(0))^2)=0 \Rightarrow (f(0))^2=\pm f(0) \Rightarrow f(0)=0 \vee f(0)=\pm 1$

Cho $x=0$ có $f(f(0)-f(y))=f(f(0))+f(y^2)$

$\Rightarrow f(f(0)-f(y))=f(y^2) \Rightarrow f(y)=\pm y^2+f(0)$

Thử lại:......

Kết luận:.....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 06-05-2013 - 19:06

[Idie9xx]

Chỗ màu đỏ có vấn đề. Khy cố định $y$ thỳ ta chỉ có được $f(f(x)-f(y))-f(f(x))$ là song ánh chứ không phải $f(x)$ song ánh.

------------------------------------------------------------

P/s: không quá khó nhưng không phải đơn giản đến thế đâu.

Nếu mà là $x$ chứ không phải $x^2$ thì $f$ là 1 song ánh. Ở đây mình nhìn nhầm

Giải lại thấy còn ngắn hơn trước nhiều . Tội mỗi cái thử lại thôi.... cái này chắc dễ rồi

[em yeu chi anh]

Chỗ màu đỏ có vấn đề. Khy cố định $y$ thỳ ta chỉ có được $f(f(x)-f(y))-f(f(x))$ là song ánh chứ không phải $f(x)$ song ánh.

------------------------------------------------------------

P/s: không quá khó nhưng không phải đơn giản đến thế đâu.

quên mất, ko để ý là $x^2$. nhưng

 

Dễ thấy $f(x)=0$ là 1 hàm thỏa mãn

Ta tìm 1 hàm khác.

Với $f(x)=f(y) \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=\pm y$

Cho $x=y=0$ có $f(0)=f(f(0))+f(0) \Rightarrow f(f(0))=0$

Cho $x=y=f(0)$ có $f(0)=f(f(f(0)))-2(f(0))^2f(f(0))+f((f(0))^2)$

$\Rightarrow f((f(0))^2)=0 \Rightarrow (f(0))^2=\pm f(0) \Rightarrow f(0)=0 \vee f(0)=\pm 1$

Cho $x=0$ có $f(f(0)-f(y))=f(f(0))+f(y^2)$

$\Rightarrow f(f(0)-f(y))=f(y^2) \Rightarrow f(y)=\pm y^2+f(0)$

Thử lại:......

Kết luận:.....

 

dòng màu đỏ có vấn đề. @@~

[namcpnh]

Dễ thấy $f(x)=0$ là 1 hàm thỏa mãn

Ta tìm 1 hàm khác.

Với $f(x)=f(y) \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=\pm y$

Cho $x=y=0$ có $f(0)=f(f(0))+f(0) \Rightarrow f(f(0))=0$

Cho $x=y=f(0)$ có $f(0)=f(f(f(0)))-2(f(0))^2f(f(0))+f((f(0))^2)$

$\Rightarrow f((f(0))^2)=0 \Rightarrow (f(0))^2=\pm f(0) \Rightarrow f(0)=0 \vee f(0)=\pm 1$

Cho $x=0$ có $f(f(0)-f(y))=f(f(0))+f(y^2)$

$\Rightarrow f(f(0)-f(y))=f(y^2) \Rightarrow f(y)=\pm y^2+f(0)$

Thử lại:......

Kết luận:.....

 

Phần đầu không cho đơn ánh.

 

Phần 2 phải có đơn ánh mới được.

[Idie9xx]

quên mất, ko để ý là $x^2$. nhưng

 

 

dòng màu đỏ có vấn đề. @@~

Mình không chứng minh nó là đơn ánh

$f(x)=f(y) \Rightarrow f(f(x)-f(z))-f(f(x))=f(f(y)-f(z))-f(f(y)) \Rightarrow x^2=y^2 \Rightarrow x=\pm y$ :v

 

Phần đầu không cho đơn ánh.

 

Phần 2 phải có đơn ánh mới được.

Ta chứng minh được $f((f(0))^2)=f(f(0))=0$ theo chứng minh trên được $(f(0))^2=\pm f(0)$

và có được $f(0)=0 \vee f(0)=\pm 1$ lúc đầu định không tìm $f(0)$ cơ. Chứng minh cho thử lại đỡ vất