Chủ đề này có 2 trả lời

[trungdung97]

Cho a,b,c dương CMR $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+ab}\leq \frac{6(\sum a^{2})}{(\sum a)^{2}}$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c dương CMR $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+ab}\leq \frac{6(\sum a^{2})}{(\sum a)^{2}}$

Có trong file đính kèm   1.doc   26.5K   123 Số lần tải

[25 minutes]

Cho a,b,c dương CMR $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+ab}\leq \frac{6(\sum a^{2})}{(\sum a)^{2}}$

Có thể làm cách khác như sau :

Ta có $\frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2}=2-\frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}$

Tương tự 2 đẳng thức còn lại ta được bđt tương đương với

               $\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} \geq 6$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có

               $\sum \frac{(a+b)^2}{a^2+ab+b^2} \geq \frac{4(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ac)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} a^2+b^2+c^2=x\\ab+bc+ac=y \end{matrix}\right.$, ta cần chứng minh 

               $\frac{4(x+2y)}{2x+y}+\frac{6x}{x+2y}\geq 6$

       $\Leftrightarrow 4(x+2y)(x+2y)+6x(2x+y) \geq 6(x+2y)(2x+y)$

       $\Leftrightarrow x^2+y^2 \geq 2xy$, luôn đúng

Do đó ta có đpcm

Dấu = xảy ra khi $x=y=z>0$