Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{-3\sqrt{3}}{2} \leq (a-b)(b-c)(c-a) \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 minhson95

minhson95

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 514 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Bách Khoa Hà Nội

Đã gửi 06-05-2013 - 20:22

Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR:

 

$\frac{-3\sqrt{3}}{2} \leq (a-b)(b-c)(c-a) \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

(Đề thi thử đại học lần 2 khối A, A1 2012-2013  THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG Việt Trì- Phú Thọ)



#2 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 06-05-2013 - 20:34



Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR:

 

$\frac{-3\sqrt{3}}{2} \leq (a-b)(b-c)(c-a) \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

(Đề thi thử đại học lần 2 khối A, A1 2012-2013  THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG Việt Trì- Phú Thọ)

 

 

 

Ta sẽ chứng minh $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\le \frac{27}{4}$

 

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c$. Khi đó $(b-c)^2 \le b^2$ và $(c-a)^2 \le a^2$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$a^2b^2(a-b)^2\le \frac{27}{4}$

 

Theo bđt AM-GM:

 

$4a^2b^2(a-b)^2\le \left [ \frac{2.2ab+(a^2-2ab+b^2)}{3} \right ]^3=\frac{(a+b)^6}{27}$

 

Mà $a+b \le a+b+c=3$

 

$\Rightarrow$ dpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=\frac{3+\sqrt{3}}{2}; b=\frac{3-\sqrt{3}}{2}; c=0$ và các hoán vị






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh