Chủ đề này có 1 trả lời

[minhson95]

Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR:

 

$\frac{-3\sqrt{3}}{2} \leq (a-b)(b-c)(c-a) \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

(Đề thi thử đại học lần 2 khối A, A1 2012-2013  THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG Việt Trì- Phú Thọ)

[Sagittarius912]

Cho 3 số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR:

 

$\frac{-3\sqrt{3}}{2} \leq (a-b)(b-c)(c-a) \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

(Đề thi thử đại học lần 2 khối A, A1 2012-2013  THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG Việt Trì- Phú Thọ)

 

 

 

Ta sẽ chứng minh $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\le \frac{27}{4}$

 

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c$. Khi đó $(b-c)^2 \le b^2$ và $(c-a)^2 \le a^2$

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$a^2b^2(a-b)^2\le \frac{27}{4}$

 

Theo bđt AM-GM:

 

$4a^2b^2(a-b)^2\le \left [ \frac{2.2ab+(a^2-2ab+b^2)}{3} \right ]^3=\frac{(a+b)^6}{27}$

 

Mà $a+b \le a+b+c=3$

 

$\Rightarrow$ dpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=\frac{3+\sqrt{3}}{2}; b=\frac{3-\sqrt{3}}{2}; c=0$ và các hoán vị