Đến nội dung

Hình ảnh

$lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})$

- - - - - gh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết

Tìm $lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Tìm $lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})$

 

Đặt $x_n=\frac{n^n}{n!}$

 

Ta có: $$\frac{x_n}{x_{n-1}}=\left(\frac{n}{n-1} \right )^{n-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}\to e$$

 

Ta có bổ đề sau: $\lim \frac{a^n}{n!}=0$

 

Thật vậy chọn $m\in \mathbb{N^*}$ sao cho $m+1>|a|$ ta có

$$0\le |\frac{a^n}{n!}|=\frac{|a|}{1}.\frac{|a|}{2}....\frac{|a|}{m}.\frac{a|}{m+1}...\frac{|a|}{n}\le \frac{|a|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}\le \frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$$

 

Đặt $u_n=\frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$ dễ thấy $u_n\to 0$ nên $\lim \frac{a^n}{n!}=0$
 

Áp dụng kết quả này ta có $\lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})=\lim \sqrt[n]{x_n}=e.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 12-05-2013 - 17:44

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Tìm $lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})$

Spoiler

 

Tham khảo thêm 2 cách giải bằng định lý kẹp kết hợp tích phân và hệ quả của định lý Stolz-Cesaro ở đây.


"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#4
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Tham khảo thêm cách dùng tổng tích phân Riemann:

 

$$L=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$$

 

$$\to \ln L=-\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln\frac{i}{n}=-\int_{0}^{1}\ln xdx=1$$

 

$$\to \fbox{{$ L=e$}}$$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#5
Nguyenhuucan

Nguyenhuucan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 8 Bài viết

Đặt $x_n=\frac{n^n}{n!}$

 

Ta có: $$\frac{x_n}{x_{n-1}}=\left(\frac{n}{n-1} \right )^{n-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}\to e$$

 

Ta có bổ đề sau: $\lim \frac{a^n}{n!}=0$

 

Thật vậy chọn $m\in \mathbb{N^*}$ sao cho $m+1>|a|$ ta có

$$0\le |\frac{a^n}{n!}|=\frac{|a|}{1}.\frac{|a|}{2}....\frac{|a|}{m}.\frac{a|}{m+1}...\frac{|a|}{n}\le \frac{|a|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}\le \frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$$

 

Đặt $u_n=\frac{|m+1|^m}{m!}.\left(\frac{|a|}{m+1}\right)^{n-m}$ dễ thấy $u_n\to 0$ nên $\lim \frac{a^n}{n!}=0$
 

Áp dụng kết quả này ta có $\lim(\frac{n}{(n!)^{\frac{1}{n}}})=\lim \sqrt[n]{x_n}=e.$

Hay thiệt, nhưng thắc mắc một chỗ. mình dựa vào đâu để đánh giá điều này vậy mọi người.

$\frac{a}{{m + 1}}...\frac{a}{n} \le {\left( {\frac{a}{{m + 1}}} \right)^{n - m}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuucan: 29-11-2015 - 00:24






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: gh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh