Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Tìm số dư khi chia $1776^{2013^{2012^n}-1}$ cho 2000 .

[PT42]

Đặt $A= 1776^{2013^{2012^{n}}-1}$

Điều kiện : n là số tự nhiên

$2013^{2012^{n}}-1\geq 2013^{2012^{0}}-1 =2012$$> 0$ mà

$1776 \vdots 16$ nên $A\vdots 16$

 

Trường hợp 1 : n>0

 $1776\equiv 26 (mod 125)\Rightarrow A\equiv 26^{2013^{2012^{n}}-1}$ (mod 125)

 n>0,  $2012\vdots 4$ nên $2012^{n} = 4k$ với k nguyên dương

$\Rightarrow 2013^{2012^{n}}-1 = 2013^{4n}-1 \equiv 3^{4n}-1 =81^{n}-1 \equiv 0 (mod 5))$

$\Rightarrow 2013^{2012^{n}}-1 = 5t$ với t nguyên dương

Ta có $26^{5}-1= (26-1))(26^{4}+26^{3}+26^{2}+26+1)$ chia hết cho 125 vì $26^{4}+26^{3}+26^{2}+26+1$

có tận cùng là 5 ( 6+6+6+6+1) chia hết cho 5. $\Rightarrow 26^{5}\equiv 1 (mod 125)$

$\Rightarrow A\equiv 26^{5t}= (26^{5})^{t} \equiv 1 (mod 125)$

 

Vậy A = 125p+1 và A= 16q với p, q nguyên dương

 $\Rightarrow 624A = 78000p+ 624$  và 625A = 10000q

$\Rightarrow A= 2000(5q-39p)-624 = 2000(5q-39p-1)+1376$

$\Rightarrow$ A chia cho 2000 dư 1376

 

Trường hợp 2 n=0 thì $A = 1776^{2013^{1}-1} = 1776 ^{2012} \equiv 26^{2012} = (26^{5})^{402}.26^{2}\equiv 26^{2}= 676 \equiv 51( mod 125)$

$\Rightarrow A = 125m+ 51$ và $\Rightarrow A = 16n$ với m,n nguyên dương

$\Rightarrow 624A = 78000m+31824$ và 625A = 10000n

$\Rightarrow A = 2000 (5n-39m)- 31824$ = 2000 (5n- 39m -  16) + 176

$\Rightarrow$ A chia cho 2000 dư 176

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 16-05-2013 - 20:45