Tìm số dư khi chia $1776^{2013^{2012^n}-1}$ cho 2000 .
#1
Đã gửi 07-05-2013 - 14:24
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 16-05-2013 - 15:56
Đặt $A= 1776^{2013^{2012^{n}}-1}$
Điều kiện : n là số tự nhiên
$2013^{2012^{n}}-1\geq 2013^{2012^{0}}-1 =2012$$> 0$ mà
$1776 \vdots 16$ nên $A\vdots 16$
Trường hợp 1 : n>0
$1776\equiv 26 (mod 125)\Rightarrow A\equiv 26^{2013^{2012^{n}}-1}$ (mod 125)
n>0, $2012\vdots 4$ nên $2012^{n} = 4k$ với k nguyên dương
$\Rightarrow 2013^{2012^{n}}-1 = 2013^{4n}-1 \equiv 3^{4n}-1 =81^{n}-1 \equiv 0 (mod 5))$
$\Rightarrow 2013^{2012^{n}}-1 = 5t$ với t nguyên dương
Ta có $26^{5}-1= (26-1))(26^{4}+26^{3}+26^{2}+26+1)$ chia hết cho 125 vì $26^{4}+26^{3}+26^{2}+26+1$
có tận cùng là 5 ( 6+6+6+6+1) chia hết cho 5. $\Rightarrow 26^{5}\equiv 1 (mod 125)$
$\Rightarrow A\equiv 26^{5t}= (26^{5})^{t} \equiv 1 (mod 125)$
Vậy A = 125p+1 và A= 16q với p, q nguyên dương
$\Rightarrow 624A = 78000p+ 624$ và 625A = 10000q
$\Rightarrow A= 2000(5q-39p)-624 = 2000(5q-39p-1)+1376$
$\Rightarrow$ A chia cho 2000 dư 1376
Trường hợp 2 n=0 thì $A = 1776^{2013^{1}-1} = 1776 ^{2012} \equiv 26^{2012} = (26^{5})^{402}.26^{2}\equiv 26^{2}= 676 \equiv 51( mod 125)$
$\Rightarrow A = 125m+ 51$ và $\Rightarrow A = 16n$ với m,n nguyên dương
$\Rightarrow 624A = 78000m+31824$ và 625A = 10000n
$\Rightarrow A = 2000 (5n-39m)- 31824$ = 2000 (5n- 39m - 16) + 176
$\Rightarrow$ A chia cho 2000 dư 176
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 16-05-2013 - 20:45
Giang sơn tử hĩ sinh đồ nhuế, hiền thành liêu nhiên tụng diệc si.(Xuất dương lưu biệt - Phan Bội Châu)
Thời lai đồ điếu thành công dị, vận khứ anh hùng ẩm hận đa.(Thuật Hoài - Đặng Dung)
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: sh
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
\[2^{\left ( 3^{n} \right )}+ 1\equiv 0 \mod 3^{n}\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 11-02-2018 sh |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
\[a\sqrt[3]{2} + b\sqrt[3]{4} \notin Q\]Bắt đầu bởi DOTOANNANG, 09-02-2018 sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$a^n-1$ không chia hết cho $n$Bắt đầu bởi 19kvh97, 25-10-2014 sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$ a_{n+1}=a_n+[\sqrt{a_n}] $Bắt đầu bởi 19kvh97, 14-10-2014 ds, sh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$19^{n}-97\vdots 2^{t}$Bắt đầu bởi Dung Du Duong, 14-09-2014 sh |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh