Chủ đề này có 3 trả lời

[hoaadc08]

Cho a , b , c thuộc đoạn [0;1] . CMR :

$ab + bc + ca +\frac{ab}{c} + \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a + b + c + a^{2} + b^{2}+ c^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Poseidont: 09-05-2013 - 10:22

[Poseidont]

Bài này dùng $SOS$

Ta có 

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{bc}-1)(b-c)^2+(\frac{b}{ca}-1)(c-a)^2+(\frac{c}{ab}-1)(a-b)^2\geq 0$

Theo tiêu chuẩn 2 của định lí $SOS$

Nếu $a\geq b\geq c$ và $S_b,S_b+S_c,S_b+S_a\geq 0$ thì $S\geq 0$

Ta có

$S_b=\frac{b}{ac}-1\geq \frac{1}{a}-1\geq 0$ (theo giải thiết đầu bài )

$S_b+S_c=\frac{1}{2}(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab})-1=\frac{b^2+c^2}{2abc}-1\geq \frac{2bc}{2abc}-1\geq 0$

Tương tự ta có điều phải chứng minh.

[hoaadc08]

Cảm ơn bạn với SOS .

Nhưng đây là đề thi thử ĐẠI HỌC nên các bạn tham khảo với các lời giải "phổ thông" hơn .  

Mong rằng các bạn hưởng ứng .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 09-05-2013 - 11:43

[hoaadc08]

Bài này dùng $SOS$

Ta có 

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{bc}-1)(b-c)^2+(\frac{b}{ca}-1)(c-a)^2+(\frac{c}{ab}-1)(a-b)^2\geq 0$

Theo tiêu chuẩn 2 của định lí $SOS$

Nếu $a\geq b\geq c$ và $S_b,S_b+S_c,S_b+S_a\geq 0$ thì $S\geq 0$

Ta có

$S_b=\frac{b}{ac}-1\geq \frac{1}{a}-1\geq 0$ (theo giải thiết đầu bài )

$S_b+S_c=\frac{1}{2}(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab})-1=\frac{b^2+c^2}{2abc}-1\geq \frac{2bc}{2abc}-1\geq 0$

Tương tự ta có điều phải chứng minh.

Tôi nghĩ  bạn sửa lại chỗ đánh giá Sb + Sc > = 0 . Cảm ơn bạn .