Chủ đề này có 1 trả lời

[lovemoon]

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1.chứng minh rằng :

$\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{y+z}{y+z+1}+\frac{z+x}{z+x+1}\geq 2$

[trauvang97]

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1.chứng minh rằng :

$\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{y+z}{y+z+1}+\frac{z+x}{z+x+1}\geq 2$

 

Ta có: $\frac{x+y}{x+y+1}=1-\frac{1}{x+y+1}$

 

Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 

 

$\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\leq 1$

 

Đặt $x=a^{3},y=b^{3},z=c^{3}$, ta có $abc=1$ và bất đẳng thức trên tương đương:

 

$\frac{1}{1+a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{1+b^{3}+c^{3}}+\frac{1}{1+c^{3}+a^{3}}\leq 1$

 

Ta có: $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\geq ab(a+b)$

 

Do đó: $a^{3}+b^{3}+1\geq ab(a+b)+abc=ab(a+b+c)$ nên $\frac{1}{1+a^{3}+b^{3}}\leq \frac{c}{a+b+c}$

 

Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 08-05-2013 - 21:15