Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho $a,b \neq 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$. CMR có ít nhất một trong 2 phương trình sau có nghiệm $ax^{2}+bx+c=0$ và $x^{2}+cx+b=0$

[AnnieSally]

Mình có bài tương tự nè: cho b,c là hai số khác 0 thoả mãn: $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$.CMR có ít nhất một trong 2 phương trình sau có nghiệm:$x^{2}+bx+c=0$(1) và $x^{2}+cx+b=0$(2). Bạn làm bài trên tương tự nhé:

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm

$x^{2}+bx+c=0$(1) có $\Delta =b^{2}-4c$

 

$x^{2}+cx+b=0$(2) có $\Delta =c^{2}-4b$

 

Ta cần chứng minh $\Delta_{1}$ hoặc $\Delta_{2}$$\geq 0$

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm:

$\Delta _{1}=b^{2}-4c <0$ và $\Delta _{2}=c^{2}-4b <0 \Rightarrow \Delta _{1}+\Delta _{2}=(b^{2}-4c)+\left ( c^{2}-4b \right )=b^{2}+c^{2}-4(b+c)<0 (*)$

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}$$\Leftrightarrow b+c=\frac{1}{2}bc$ vì b và c khác 0

Suy ra: $\Delta _{1}+\Delta _{2}=b^{2}+c^{2}-4\frac{1}{2}bc=b^{2}+c^{2}-2bc=(b-c)^{2}$

Như vậy $\Delta _{1}+\Delta _{2}=(b-c)^{2}\geq 0$

Điều này chứng tỏ $(*)$ không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra 

Từ đó suy ra một trong hai phương trình trên có nghiệm

[Ngoc Hung]

Cảm ơn bạn nhiều

[anhcherry]

Mình có bài tương tự nè: cho b,c là hai số khác 0 thoả mãn: 1b+1c=121b+1c=12.CMR có ít nhất một trong 2 phương trình sau có nghiệm:x2+bx+c=0x2+bx+c=0(1) và x2+cx+b=0x2+cx+b=0(2). Bạn làm bài trên tương tự nhé:

Để (1) hoặc (2) có nghiệm ta cần chứng minh biệt thức delta của một trong hai phương trình đó không âm

x2+bx+c=0x2+bx+c=0(1) có Δ=b2−4cΔ=b2−4c

 

x2+cx+b=0x2+cx+b=0(2) có Δ=c2−4bΔ=c2−4b

 

Ta cần chứng minh Δ1Δ1 hoặc Δ2Δ2≥0≥0

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm:

Δ1=b2−4c<0Δ1=b2−4c<0 và Δ2=c2−4b<0⇒Δ1+Δ2=(b2−4c)+(c2−4b)=b2+c2−4(b+c)<0(∗)Δ2=c2−4b<0⇒Δ1+Δ2=(b2−4c)+(c2−4b)=b2+c2−4(b+c)<0(∗)

Từ giả thiết ta có 1b+1c=121b+1c=12⇔b+c=12bc⇔b+c=12bc vì b và c khác 0

Suy ra: Δ1+Δ2=b2+c2−412bc=b2+c2−2bc=(b−c)2Δ1+Δ2=b2+c2−412bc=b2+c2−2bc=(b−c)2

Như vậy Δ1+Δ2=(b−c)2≥0Δ1+Δ2=(b−c)2≥0

Điều này chứng tỏ (∗)(∗) không thể xảy ra đồng nghĩa với giả thiết đưa ra là không thể xảy ra 

Từ đó suy ra một trong hai phương trình trên có nghiệm