Chủ đề này có 1 trả lời

[MIM]

KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN- LỚP 11 CHUYÊN TOÁN

Thời gian: 90 phút

I. GIẢI TÍCH

 

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+2}$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C),$ biết rằng tiếp tuyến này song song với đường thẳng $y=4x+2013$

 

Câu 2. (2 điểm)

1. Tìm cực trị của hàm số $y=cos2x-2cosx+1$

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $m\sqrt{2x^2+9}=x+m$ có hai nghiệm phân biệt.

 

Câu 3. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng $tanx>x$ với mọi $x\in(0;\frac{\pi}{2})$

2. Cho $0<x<y<\frac{\pi}{2}.$ CMR $xsinx-ysiny>2(cosy-cosx).$

 

II. HÌNH HỌC

 

Câu 4. (2 điểm)

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A_1B_1C_1$ có tất cả các cạnh đều bằng $a,$ góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng $30^{\circ},$ hình chiếu vuông góc của điểm $A_1$ nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ là điểm thuộc đường thẳng $BC$

1. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A_1B_1C_1$

2. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA_1$ và $BC$

 

Câu 5. (2 điểm)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông với cạnh đáy nhỏ $AB=a,$ cạnh đáy lớn $CD=2a,$ đường cao $AD=a,$ cạnh bên $SD=a\sqrt{2}$ và $SD$ vuông góc với đáy.

1. Tính diện tích xung quanh hình chóp $S.ABCD$

2. Cho $M$ là điểm trên cạnh $AB,$ mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M$ và vuông góc với $BD.$ Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi $(\alpha).$ Thiết diện là hình gì? Đặt $AM=x(0\leq x< a).$ Tính theo $a$ và $x$ diện tích thiết diện.

 

..................

Đề dài làm không kịp câu 5 hình tính diện tích thiết diện T.T'' người ta bắt tính $S_{xq}$ lại đi tính $S_{tp},$ câu 2.2 kết luận nhầm.

RIP T.T

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-05-2013 - 22:03

[Ispectorgadget]

 

KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2012-2013

MÔN TOÁN- LỚP 11 CHUYÊN TOÁN

Thời gian: 90 phút

I. GIẢI TÍCH

 

Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số $y=\frac{2x}{x+2}$

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C )$ của hàm số.

TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus2$

 

$f'(x)=y'=\frac{3}{(x+2)^2}>0$

 

$\lim_{x\to -2} f(x)=\infty$

 

TCĐ: $x=-2$

 

$lim_{x\to  \infty} f(x)=2$

 

TCN: y=2$

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C),$ biết rằng tiếp tuyến này song song với đường thẳng $y=4x+2013$

Gọi $A(x_0;y_0)$ là tiếp điểm của $(C)$ với tt.

 

$f'(x_0)=4 \iff x^2+4x+3=0 \iff x=-1\vee x=-3$

 

Vậy ta có 2 tt cần tìm là $y=4x+2;y=4x+18$

 

Câu 3. (2 điểm)

1. Chứng minh rằng $tanx>x$ với mọi $x\in(0;\frac{\pi}{2})$

Xét hàm số $f(x) = tan x - x ( x\in (0;\frac{\pi}{2})$

$f '(x) = (tan x)^2 + 1 - 1 = (tan x)^2 > 0$ với mọi x thuộc $(0;\pi/2)$
Vậy  $f(x)$ tăng trên $(0;\pi/2)$ do đó
$f(x) > f(0) = 0 \to tan x > x$ 

 

2. Cho $0<x<y<\frac{\pi}{2}.$ CMR $xsinx-ysiny>2(cosy-cosx).$

$QED \iff x\sin x+2\cos x>y\sin y+2\cos y$ với $0<x<y<\frac{\pi}{2}.$

 

Xét  hàm số  $f(x) =x.\sin x+2.\cos x$    với $0<x<\frac{\pi }{2}$

 

       Ta có: $f{{\,}^{\prime }}(x)=\sin x+x.\cos x-2.\sin x; f'(0)=0$

 

            $f{{\,}^{\prime }}^{\prime }(x)=\cos x+\cos x-x.\sin x-2.\cos x=-x.\sin x$

 

$f{{\,}^{\prime }}^{\prime }(x)<0$ (vì $0<x<\frac{\pi }{2}$ thì $sin x>0$).

 

Do đó $f{{\,}^{\prime }}(x)<f{{\,}^{\prime }}(0)=0$  khi $0<x<\frac{\pi }{2}$

 

Vậy $f(x)$ là hàm giảm trên $0<x<y<\frac{\pi}{2}.$ nên $f(y)>f(x)$ với $0<x<y<\frac{\pi}{2}.$

 

Suy ra ta có đpcm.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 10-05-2013 - 11:00