Chủ đề này có 2 trả lời

[mysmallstar12]

Chứng minh rằng $\lim_{(x;y) \to (0;0)}\frac{x^2}{x^2+y}$ không tồn tại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 10-05-2013 - 19:37

[phudinhgioihan]

Chứng minh rằng $\lim_{(x;y) \to (0;0)}\frac{x^2}{x^2+y}$ không tồn tại.

 

Xét dãy $(x_n)$ bất kỳ hội tụ về $0$ và hai dãy $(y1_n) \;\; ; (y2_n) $ sao cho $y1_n=x_n^2 \;; y2_n=2x_n^2 \; \forall\; n \in \mathbb{N}$, thế thì ta có $x_n \to 0\;, y1_n \to 0\;, y2_n \to 0$ khi $n \to +\infty $ nhưng

 

$$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n^2}{x_n^2+y1_n}=\frac{1}{2} \\ \lim_{n \to +\infty} \dfrac{x_n^2}{x_n^2+y2_n}=\dfrac{1}{3} $$

 

Theo định nghĩa suy ra $\lim_{(x;y) \to (0;0)}\frac{x^2}{x^2+y}$ không tồn tại !

[vo van duc]

Chứng minh rằng $\lim_{(x;y) \to (0;0)}\frac{x^2}{x^2+y}$ không tồn tại.

 

Ngoài cách chọn các dãy con như của Đạt thì ta còn một công cụ khác cũng khá hiệu quả. hihi

 

Trong giới hạn của ta thì $(x,y)\rightarrow (0,0)$ theo các phương, các quy luật bất kỳ. Nếu giới hạn này tồn tại và có giá trị là $a$ thì khi $(x,y)\rightarrow (0,0)$ theo bất kỳ phương nào thì hàm $f(x,y)$ cũng phải dần về một giá trị duy nhất là $a$. Như vậy để chứng minh một giới hạn là không tồn tại thì ta có thể xét $(x,y)\rightarrow (0,0)$ theo 2 phương bất kỳ mà $f(x,y)$ dần về các giá trị khác nhau.

....................

 

Xét $(x,y)\rightarrow (0,0)$ theo phương $y=kx^2$

 

Khi đó

$\underset{(x,y)\rightarrow (0,0)}{lim}\frac{x^2}{x^2+y}=\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{x^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{1}{1+k}$

 

Giới hạn này phụ thuộc vào $k$ nên không tồn tại giới hạn $\underset{(x,y)\rightarrow (0,0)}{lim}\frac{x^2}{x^2+y}$