Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

tồn tại bộ ba đôi một phân biệt $a,b,c$ nguyên lớn hơn $M$ và $abc+1$ là ước của một trong các số $(a-b)^2, (b-c)^2$ hoặc $(c-a)^2$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Mr Stoke

Mr Stoke

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-05-2013 - 13:19

Bài toán này cũ rồi, nếu không nhầm là một bài thi HSG của Đức, nhưng gần đây MS mới nhận ra có thể giải nó rất đơn giản bằng kiến thức của lớp 7, các bạn cùng nghĩ nhé (cấm cấp 3 vào giải :D )

 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $M$, tồn tại bộ ba đôi một phân biệt $a,b,c$ nguyên cùng lớn hơn $M$ và $abc+1$ là ước của một trong các số $(a-b)^2$, $(b-c)^2$ hoặc $(c-a)^2$.

 

Xin mời ...

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 13-05-2013 - 16:01

Mr Stoke 


#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 19-06-2013 - 00:38

Bài toán này cũ rồi, nếu không nhầm là một bài thi HSG của Đức, nhưng gần đây MS mới nhận ra có thể giải nó rất đơn giản bằng kiến thức của lớp 7, các bạn cùng nghĩ nhé (cấm cấp 3 vào giải :D )

 

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $M$, tồn tại bộ ba đôi một phân biệt $a,b,c$ nguyên cùng lớn hơn $M$ và $abc+1$ là ước của một trong các số $(a-b)^2$, $(b-c)^2$ hoặc $(c-a)^2$.

 

Xin mời ...

Sorry thầy vì em sắp lên cấp 3 mà còn vào giải :))

Giải như sau:

Không mất tg có thể coi $(abc+1)|(a-b)^2$
Đặt $(a-b)^2=(abc+1)k \Rightarrow a^2-a(2b+bck)+b^2-k=0$

Ta cần delta chính phương hay $(2b+bck)^2-4(b^2-k)=b^2c^2k^2+4b^2ck+4k$ ta chọn $k=b^2$ thì $(2b+bck)^2-4(b^2-k)=b^2(ck+2)^2$ chính phương

Xong phần suy nghĩ giờ quay vào bài toán

Chọn $k=b^2$
Khi đó $a^2-2ab+b^2=ab^3c+b^2 \Rightarrow a^2-2ab=ab^3c \Rightarrow a-2b=b^3c \Rightarrow a=b^3c+2b$
Như vậy chọn $b,c$ đủ lớn để $b\neq c >M$ do đó $a=b^3c+2b>b,c$ và $a>M$ đpcm

 

P/S trong cách giải của em em trình bày hướng suy nghĩ của mình chứ khi đi thi có thể viết ngay chọn $k=b^2$, theo cá nhân em thì em nghĩ bài này chắc là có cách giải kiểu pt Pell hay Markov?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-06-2013 - 00:43


#3 Mr Stoke

Mr Stoke

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 582 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-06-2013 - 14:24

Em làm đúng rồi, bây giờ ta thây đổi chút xíu: thêm điều kiện $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Kết quả sẽ thế nào. Dĩ nhiên lúc này cách làm trên không còn hiệu lực nữa.


Mr Stoke 


#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 19-06-2013 - 15:22

Em làm đúng rồi, bây giờ ta thây đổi chút xíu: thêm điều kiện $a,b,c$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Kết quả sẽ thế nào. Dĩ nhiên lúc này cách làm trên không còn hiệu lực nữa.

Như vậy là vẫn còn cách lớp 7 khác mà giải quyết được điều kiện $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau đôi một hả thầy?? Để em nghĩ thử xem sao 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-06-2013 - 15:23





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh