Bài toán này cũ rồi, nếu không nhầm là một bài thi HSG của Đức, nhưng gần đây MS mới nhận ra có thể giải nó rất đơn giản bằng kiến thức của lớp 7, các bạn cùng nghĩ nhé (cấm cấp 3 vào giải )
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $M$, tồn tại bộ ba đôi một phân biệt $a,b,c$ nguyên cùng lớn hơn $M$ và $abc+1$ là ước của một trong các số $(a-b)^2$, $(b-c)^2$ hoặc $(c-a)^2$.
Xin mời ...
Sorry thầy vì em sắp lên cấp 3 mà còn vào giải
Giải như sau:
Không mất tg có thể coi $(abc+1)|(a-b)^2$
Đặt $(a-b)^2=(abc+1)k \Rightarrow a^2-a(2b+bck)+b^2-k=0$
Ta cần delta chính phương hay $(2b+bck)^2-4(b^2-k)=b^2c^2k^2+4b^2ck+4k$ ta chọn $k=b^2$ thì $(2b+bck)^2-4(b^2-k)=b^2(ck+2)^2$ chính phương
Xong phần suy nghĩ giờ quay vào bài toán
Chọn $k=b^2$
Khi đó $a^2-2ab+b^2=ab^3c+b^2 \Rightarrow a^2-2ab=ab^3c \Rightarrow a-2b=b^3c \Rightarrow a=b^3c+2b$
Như vậy chọn $b,c$ đủ lớn để $b\neq c >M$ do đó $a=b^3c+2b>b,c$ và $a>M$ đpcm
P/S trong cách giải của em em trình bày hướng suy nghĩ của mình chứ khi đi thi có thể viết ngay chọn $k=b^2$, theo cá nhân em thì em nghĩ bài này chắc là có cách giải kiểu pt Pell hay Markov?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-06-2013 - 00:43