Chủ đề này có 35 trả lời

[mrjackass]

Câu I. 1) Rút gọn

$S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$

 

2) Giải phương trình: $\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt{x+3}=1$

 

Câu II. 1) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $2x^2+3xy+y^2-4x-3y+1=0$

 

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy=1\\ x^3-5xy^2-x^2+5y^2+4x=4\end{matrix}\right.$

 

Câu III. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $B,C$ cố định, $A$ di chuyển trên $(O)$. $D$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $AD$ là phân giác $\angle BAC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $A$ tiếp xúc $BC$ tại $D$.

1) Chứng minh $(K)$ tiếp xúc $(O)$

2) Gọi $(K)$ giao $CA,AB$ lần lượt tại $E,F$ khác $A$. $BE,CF$ lần lượt cắy $(K)$ tại $G,H$ khác $E,F$. $AG,AH$ cắt $BC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng: độ dài $MN$ không đổi khi $A$ di chuyển

 

Câu IV. Với các số dương $a,b$ thỏa mãn $a^3+b^3+6ab \leq 8$, tìm GTNN của $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{ab}+ab$

 

 

 

 

 

 

[phatthemkem]

Câu I. 1) Rút gọn

$S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$

 

 

Mở hàng, chém bài dễ nhất nhá!!!

Ta có, với $n>0$ thì

$\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}= \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}.\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

$\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}}$

$=1-\frac{1}{\sqrt{100}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 11-05-2013 - 18:53

[dauto98]

làm đc mỗi bài 1, về nhà xem đáp án mà ko hiểu sao mình ko phân tích đc câu 2 (((

[andymurray44]

Hôm nay làm bài thế nào các chú,tui thì làm sai mất bài nghiệm nguyên bỏ câu cuối

[andymurray44]

Bài nghiệm nguyên,xét$\Delta$ biến x,ta được $y^{2}+8\geq 0$,vì phương trình có nghiệm nguyên nên $\Delta$ là scp$\Rightarrow y^{2}+8=k^{2}(k\epsilon \mathbb{Z})\Leftrightarrow (k-y)(k+y)=8$ Sau đó xét.Chán vãi đi thi thì chỗ này viết nhầm thành $(y-k)(y+k)=8$ thảo nào ra vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 11-05-2013 - 19:14

[phatthemkem]

Câu I. 

2) Giải phương trình: $\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt{x+3}=1$

 

Đặt $\sqrt[3]{1-2x}=a,\sqrt{x+3}=b$  ($x\geq -3,b\geq 0$), ta có hpt

$\left\{\begin{matrix} a+b=1\\ a^3+2b^2=7 \end{matrix}\right.$

Giải hpt, tìm ra $a,b$ rồi đối chiếu điều kiện, ta tìm được $x=1$ và $x=\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 11-05-2013 - 19:27

[andymurray44]

Đặt $\sqrt[3]{1-2x}=a,\sqrt{x+3}=b$  ($x\geq -3,b\geq 0$), ta có hpt

$\left\{\begin{matrix} a+b=1\\ a^3+2b^2=7 \end{matrix}\right.$

Giải hpt, tìm ra $a,b$ đối chiếu điều kiện, ta tìm được $x=1$ và $x=\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$

Tui tưởng tìm đc nghiệm thứ hai của x số khủng lắm mà,ngại biến đổi,viết luôn thế

[phatthemkem]

Tui tưởng tìm đc nghiệm thứ hai của x số khủng lắm mà,ngại biến đổi,viết luôn thế

Biến đổi hpt, ta được pt sau

$(a+1)(a^2+a-5)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=-1\\ a=\frac{\sqrt{21}-1}{2}\\ a=\frac{-\sqrt{21}-1}{2} \end{bmatrix}$

Khi $a=-1\Rightarrow x=1$

Khi $a=\frac{\sqrt{21}-1}{2}\Rightarrow b=1-a=\frac{3-\sqrt{21}}{2}<0$

Khi $a=\frac{-\sqrt{21}-1}{2}\Rightarrow b=1-a=\frac{3+\sqrt{21}}{2}>0 \Rightarrow x=b^2-3=\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 11-05-2013 - 19:24

[phatthemkem]

2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy=1\\ x^3-5xy^2-x^2+5y^2+4x=4\end{matrix}\right.$

 

Từ pt thứ hai của hệ, ta có

$x^3-5xy^2-x^2+5y^2+4x=4\Leftrightarrow (x-1)(x^2-5y^2+4)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2-5y^2+4)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=1\Rightarrow y=1\\ x^2-5y^2+4=0 \end{bmatrix}$

Từ $x^2-5y^2+4=0\Leftrightarrow 5y^2=x^2+4$

Thay $5y^2=x^2+4$ vào $x^3-5xy^2-x^2+5y^2+4x=4$ sẽ tìm được các nghiệm tiếp theo của pt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 11-05-2013 - 19:41

[dauto98]

Biến đổi hpt, ta được pt sau

$(a+1)(a^2+a-5)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a=-1\\ a=\frac{\sqrt{21}-1}{2}\\ a=\frac{-\sqrt{21}-1}{2} \end{bmatrix}$

Khi $a=-1\Rightarrow x=1$

Khi $a=\frac{\sqrt{21}-1}{2}\Rightarrow b=1-a=\frac{3-\sqrt{21}}{2}<0$

Khi $a=\frac{-\sqrt{21}-1}{2}\Rightarrow b=1-a=\frac{3+\sqrt{21}}{2}>0 \Rightarrow x=b^2-3=\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$

nếu bài này mình ko đặt đk cho $b$ mà giải hết ra rồi dùng đk của $x$ thì có đc ko, mình nhớ mình làm thế mà ra đc 3 nghiệm (nhẩm để kiểm tra điều kiện, hôm nay quên mang máy tính nên chả biết đúng ko)

andymurray44 thi ở phòng nào vậy, mình phòng 1

[duaconcuachua98]

Bài $4$:

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a^{3}+1+1\geq 3a & \\ b^{3}+1+1\geq 3b & \end{matrix}\right. \Rightarrow a^{3}+b^{3}+6ab+4\leq 12\Rightarrow 3a+3b+6ab\leq 12\Rightarrow a+b+2ab\leq 4$

Lại có: $a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow 4\geq a+b+2ab\geq 2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow ab+\sqrt{ab}-2\leq 0\Rightarrow (\sqrt{ab}-1)(\sqrt{ab}+2)\leq 0\Rightarrow -2\leq \sqrt{ab}\leq 1\Rightarrow ab\leq 1\Rightarrow a+b\leq 2$

Ta có: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{ab}+ab+\frac{3}{2ab}\geq \frac{4}{(a+b)^{2}}+\frac{3}{2ab}+2\geq 1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}$

Vậy $\max P=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 11-05-2013 - 20:07

[phatthemkem]

nếu bài này mình ko đặt đk cho $b$ mà giải hết ra rồi dùng đk của $x$ thì có đc ko, mình nhớ mình làm thế mà ra đc 3 nghiệm (nhẩm để kiểm tra điều kiện, hôm nay quên mang máy tính nên chả biết đúng ko)

andymurray44 thi ở phòng nào vậy, mình phòng 1

Nếu bạn đặt $b=\sqrt{x+3}$ thì $b$ phải có điều kiện là $b\geq 0$ chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 11-05-2013 - 20:10

[trananh2771998]

Bài IV
từ cái chỗ ab$\leq$1 $\rightarrow a\dotplus b\leq 2$

Làm thế nào mà bạn suy ra được vậy

[ilovelife]

Bài $4$:

Ta có: $\left\{\begin{matrix} a^{3}+1+1\geq 3a & \\ b^{3}+1+1\geq 3b & \end{matrix}\right. \Rightarrow a^{3}+b^{3}+6ab+4\leq 12\Rightarrow 3a+3b+6ab\leq 12\Rightarrow a+b+2ab\leq 4$

Lại có: $a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow 4\geq a+b+2ab\geq 2ab+2\sqrt{ab}\Rightarrow ab+\sqrt{ab}-2\leq 0\Rightarrow (\sqrt{ab}-1)(\sqrt{ab}+2)\leq 0\Rightarrow -2\leq \sqrt{ab}\leq 1\Rightarrow ab\leq 1\Rightarrow a+b\leq 2$

Ta có: $\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{ab}+ab+\frac{3}{2ab}\geq \frac{4}{(a+b)^{2}}+\frac{3}{2ab}+2\geq 1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}$

Vậy $\max P=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=1$

Cho mình hỏi, tại sao, có $ab \le 1$ mà bạn suy ra được $a+b \le 2$ (cùng câu hỏi với "bạn" trananh2771998)

Mà để chứng minh $ab \le 1$ sao bạn không chứng minh $8+1=(a^3+b^3+1)+6ab \ge 9ab \implies 1\ge ab$

 

Chứng minh $a+b\le 2$

Giả sử trái lại, khi ấy:

$(a+b)^3 - 3ab(a+b)+6ab \le 8\\ \implies (a+b)^3-8 \le 3ab (a+b-2)$

$\implies (a+b)^2+2(a+b)+4 \le 3ab \implies$ vô lí

$\implies Q.E.D$

 

Đến đây thì các bạn làm điểm rơi bình thường sẽ tìm được min

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 11-05-2013 - 20:34

[trananh2771998]

Bạn duaconcuachua98 làm như thế mọi người sẽ khó hiểu đấy

Mà đề bài là tìm Min chứ đâu phải MaX như bạn làm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trananh2771998: 11-05-2013 - 20:33

[duaconcuachua98]

Xin lỗi các bạn!!! Có vẻ như mình bị ngược dấu rồi!!! 

[trananh2771998]

Nếu ILOVELIFE giả sử thế kia thì dấu bằng vẫn có thể xảy ra mà -troll-

[ilovelife]

Xin lỗi các bạn!!! Có vẻ như mình bị ngược dấu rồi!!! 

Nhưng có vẻ là $a+b \le 2$ là đúng thật (bạn xem chứng minh của mình ở bên trên có đúng không), mà chứng minh được vậy sẽ suy luôn được $2\sqrt {ab} \le a+b \le 2 \implies ab \le 1$

 

@trananh2771998: giả sử trái lại là giả sử $a+b>2$, mày cứ check bài tao đi, tao làm qua, vội nên có thể sai sót :okay:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 11-05-2013 - 20:44

[trananh2771998]

Nhưng có vẻ là $a+b \le 2$ là đúng thật (bạn xem chứng minh của mình ở bên trên có đúng không), mà chứng minh được vậy sẽ suy luôn được $2\sqrt {ab} \le a+b \le 2 \implies ab \le 1$

 

@trananh2771998: giả sử trái lại là giả sử $a+b>2$, mày cứ check bài tao đi, tao làm qua, vội nên có thể sai sót :okay:

Cách phản chứng có vẻ không tự nhiên cho lắm .Mà cái mũ 3 chuyển xuống mũ 2 là ntn

[ilovelife]

Cách phản chứng có vẻ không tự nhiên cho lắm .Mà cái mũ 3 chuyển xuống mũ 2 là ntn

 

Cái thằng Ngọc Anh này, cứ giả vờ Never Give Up, phân tích thành nhân tử rồi chia 2 vế cho $(a+b-2)$ vì $a+b-2>0$ mà, bây giờ khinh không trả lời đâu