Câu I. 1) Rút gọn
$S=\frac{1}{2\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}$
2) Giải phương trình: $\sqrt[3]{1-2x}+\sqrt{x+3}=1$
Câu II. 1) Tìm các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn: $2x^2+3xy+y^2-4x-3y+1=0$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy=1\\ x^3-5xy^2-x^2+5y^2+4x=4\end{matrix}\right.$
Câu III. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ cố định, $B,C$ cố định, $A$ di chuyển trên $(O)$. $D$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $AD$ là phân giác $\angle BAC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $A$ tiếp xúc $BC$ tại $D$.
1) Chứng minh $(K)$ tiếp xúc $(O)$
2) Gọi $(K)$ giao $CA,AB$ lần lượt tại $E,F$ khác $A$. $BE,CF$ lần lượt cắy $(K)$ tại $G,H$ khác $E,F$. $AG,AH$ cắt $BC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh rằng: độ dài $MN$ không đổi khi $A$ di chuyển
Câu IV. Với các số dương $a,b$ thỏa mãn $a^3+b^3+6ab \leq 8$, tìm GTNN của $P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{3}{ab}+ab$