P=max${x;y;z;\frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}}$ với x, y, z dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pexauxi225: 12-05-2013 - 14:10
P=max${x;y;z;\frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}}$ với x, y, z dương
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pexauxi225: 12-05-2013 - 14:10
Đây là một bài trong đề thi thử đại học của THTT số 429.
.Nếu $x\geq 3$ hoặc $y\geq 3$ hoặc $z\geq 3$ thì $P\geq 3$
.Nếu $0< x,y,z< 3$ thì
$\frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}> \frac{7}{3}+\frac{3}{9}+\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$ nên $P> 3$
vậy $Min P=3$
ONG NGỰA 97.
P=max${x;y;z;\frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}}$ với x, y, z dương
Cách khác:
Từ giả thiết ta có: $\frac{7}{9}P\geq \frac{7}{9}x$
$\frac{2}{9}P\geq \frac{2}{9}y$
$\frac{1}{3}P\geq \frac{1}{3}z$
$P\geq \frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}$
Do đó: $\frac{7}{9}P+\frac{2}{9}P+\frac{1}{3}P+P\geq \frac{7}{9}x+\frac{2}{9}y+\frac{1}{3}z+\left ( \frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}} \right )$
hay: $\frac{7}{3}P\geq \frac{7}{9}\left ( x+\frac{9}{x} \right )+\frac{1}{9}\left ( 2y+\frac{27}{y^{2}} \right )+\frac{1}{3}\left ( z+\frac{27}{z^{3}} \right )$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
$x+\frac{9}{x}\geq 6$
$2y+\frac{27}{y^{2}}=y+y+\frac{27}{y^{2}}\geq 9$
$z+\frac{27}{z^{3}}=\frac{z}{3}+\frac{z}{3}+\frac{z}{3}+\frac{27}{z^{3}}\geq 4$
Do đó: $\frac{7}{3}P\geq \frac{7}{9}.6+\frac{1}{9}.9+\frac{1}{3}.4=7$ hay $P\geq 3$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3$. Vậy min$P=3$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh