Chủ đề này có 2 trả lời

[pexauxi225]

P=max${x;y;z;\frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}}$ với x, y, z dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pexauxi225: 12-05-2013 - 14:10

[ongngua97]

Đây là một bài trong đề thi thử đại học của THTT số 429.

.Nếu $x\geq 3$ hoặc $y\geq 3$ hoặc $z\geq 3$ thì $P\geq 3$

.Nếu $0< x,y,z< 3$ thì

$\frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}> \frac{7}{3}+\frac{3}{9}+\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$ nên $P> 3$

vậy $Min P=3$

[trauvang97]

P=max${x;y;z;\frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}}$ với x, y, z dương

 

Cách khác:

 

Từ giả thiết ta có: $\frac{7}{9}P\geq \frac{7}{9}x$

 

                             $\frac{2}{9}P\geq \frac{2}{9}y$

 

                             $\frac{1}{3}P\geq \frac{1}{3}z$

 

                             $P\geq \frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}}$

 

Do đó: $\frac{7}{9}P+\frac{2}{9}P+\frac{1}{3}P+P\geq \frac{7}{9}x+\frac{2}{9}y+\frac{1}{3}z+\left ( \frac{7}{x}+\frac{3}{y^{2}}+\frac{9}{z^{3}} \right )$

 

hay: $\frac{7}{3}P\geq \frac{7}{9}\left ( x+\frac{9}{x} \right )+\frac{1}{9}\left ( 2y+\frac{27}{y^{2}} \right )+\frac{1}{3}\left ( z+\frac{27}{z^{3}} \right )$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 

$x+\frac{9}{x}\geq 6$

 

$2y+\frac{27}{y^{2}}=y+y+\frac{27}{y^{2}}\geq 9$

 

$z+\frac{27}{z^{3}}=\frac{z}{3}+\frac{z}{3}+\frac{z}{3}+\frac{27}{z^{3}}\geq 4$

 

Do đó: $\frac{7}{3}P\geq \frac{7}{9}.6+\frac{1}{9}.9+\frac{1}{3}.4=7$  hay $P\geq 3$

 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=3$. Vậy min$P=3$