Chủ đề này có 16 trả lời

[andymurray44]

Câu I:

1) Giải phương trình:

                                    $\sqrt{x+4}-\sqrt{6-x}= x^{2}-3x-20$

2)Giải hệ phương trình:

                                     $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 2 & & \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^{2}}=4& & \end{matrix}\right.$

 

Câu II:

1) Giả sử a,b,c là 3 số hữu tỉ thỏa mãn $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c=0$.CMR: a=b=c=0

 

2)Tìm nghiệm nguyên của ptr: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}$

 

Câu III:Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ .P là điểm nằm trong tam giác.Trung trực CA,CB lần lượt cắt PA tại E,F.Đường thẳng qua E song song AC cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại M.Đường thẳng qua F song song AB cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại N.

1)CMR: MN tiếp xúc (O)

2) MN cắt đường tròn ngoại tiếp các $\Delta ACM,ABN$ lần lượt tại R và Q.CMR: BR và CQ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên (O)

 

 

Câu IV: Cho bảng ô vuông kích thước 2n X 2n .Ta đánh dấu 3n ô vuông con bất kì của bảng.CMR ta luôn chọn được n hàng và n cột của bảng ô vuông ban đầu mà tất cả các ô vuông con được đánh dấu đều nằm trong n hàng và n cột này

 

 

P/S: Các chú làm bài thế nào?

[trauvang97]

2)Giải hệ phương trình:

                                     $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}= 2 & & \\ \frac{2}{xy}-\frac{1}{z^{2}}=4& & \end{matrix}\right.$

 

ĐK: $xyz\neq 0$

 

Bình phương phương trình thứ nhất của hệ ta có:  

$\frac{1}{x^{2}}++\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4$

 

Khi đó, ta có:

      $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^{2}}$

 

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{2}{z^{2}}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=0$

 

$\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z} \right )^{2}+\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )^{2}=0$

 

$\Leftrightarrow x=y=-z$

 

Thay vào phuơng trình thứ nhất của hệ tìm được nghiệm $(x,y,z)=\left ( \frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right )$ (thoả mãn)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 14-05-2013 - 10:04

[huy thắng]

Câu I:

1) Giải phương trình:

                                    $\sqrt{x+4}-\sqrt{6-x}= x^{2}-3x-20$

 

bài này lượng liên hợp với $x=-3$

[trauvang97]

Câu I:

1) Giải phương trình:

                                    $\sqrt{x+4}-\sqrt{6-x}= x^{2}-3x-20$

 

ĐK: $-4\leq x\leq 6$

Phương trình đã cho tương đương với phuơng trình:

    $\sqrt{x+4}-1-\left ( \sqrt{6-x}-3 \right )-x^{2}+3x+18=0$

 

$\Leftrightarrow \frac{x+3}{\sqrt{x+4}+1}+\frac{x+3}{\sqrt{6-x}+3}+(x+3)(6-x)=0$

 

$\Leftrightarrow (x+3)\left ( \frac{1}{\sqrt{x+4}+1}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+3}+6-x \right )=0$

 

$\Leftrightarrow x=-3$ (thoả mãn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=-3$

[andymurray44]

Bài hệ làm thế này cũng đc:

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c$ thì ta có hệ :

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=2 & & \\ 2ab-c^{2}=4& & \end{matrix}\right.$

Thế $c^{2}=(2-a-b)^{2}$ vào phương trình sau $\Rightarrow (a-2)^{2}+(b-2)^{2}=0\Rightarrow a=b=2\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$ và $z=-\frac{1}{2}$

[Juliel]

câu nghiệm nguyên hen !

Gỉa sử x,y đều lẻ, từ phương trình ta có $z^{2}= x^{2}y^{2}- x^{_{2}}-y^{2}\equiv 2 (mod 4)$ (vô lí !)

Do đó ít nhất một trong hai biến x,y phải chẵn

Gỉa sử x chẵn thì $x^{2}\equiv 0 (mod 4)\Rightarrow y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}- x^{2}\equiv 0 (mod 4)$

Từ đó suy ra y,z đều chẵn

Đặt $x=2x_{1};y=2y_{1};z=2z_{1}$ , thay vào pt ban đầu :

$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+ z_{1}^{2}= 4x_{1}^{2}.x_{2}^{2}$

Lập luận tương tự thì $x_{1},y_{1},z_{1}$ đều chẵn

Một cách tổng quát ta chứng minh được $x,y,z \vdots 2^{k}$ với mọi số tự nhiên k

Suy ra x = y = z = 0

Đó là nghiệm nguyên của pt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 14-05-2013 - 15:54

[bossulan239]

Bài IV

 

Khi xếp 3n ô vuông vào 2n hàng thì theo nguyên lí Đirichle tồn tại 1 hàng chứa ít nhất 2 ô được đánh dấu

Lập luận tương tư như trên sau n bước ta sẽ thu được n hàng mà mỗi hàng chứa ít nhất 2 ô vuông

Suy ra số ô vuông còn lại luôn nhỏ hơn hoặc bằng 3n - 2n =n 

Khi đó ta sẽ chọn được n cột chứa tất cả các ô còn lại => đpcm

[phanducnhatminh]

Câu 2.1:$a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c=0<=>(a\sqrt{2}+b\sqrt{3})^{2}=c^{2}<=>2\sqrt{6}ab=c^{2}-2a^{2}-3b^{2}$

Nếu $a\neq 0,b\neq 0$ Thì $\sqrt{6}=\frac{c^{2}-2a^{2}-3b^{2}}{2ab}$vô lí vì $a,b,c\epsilon Q$Suy ra trong a,b có 1 số bằng 0.

    Nếu a=0 thì $c^{2}-3b^{2}=0=>c=\pm b\sqrt{3}$ lập luận tương tự được $b=c=0$

    Nếu b=0 CM tương tự a=0.

                                       Vậy a=b=c=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanducnhatminh: 14-05-2013 - 15:35

[phanducnhatminh]

câu nghiệm nguyên hen !

Gỉa sử x,y đều lẻ, từ phương trình ta có $z^{2}= x^{2}y^{2}- x^{_{2}}-y^{2}\equiv 2 (mod 3)$ (vô lí !)

Do đó ít nhất một trong hai biến x,y phải chẵn

Gỉa sử x chẵn thì $x^{2}\equiv 0 (mod 4)\Rightarrow y^{2}+z^{2}=x^{2}y^{2}- x^{2}\equiv 0 (mod 4)$

Từ đó suy ra y,z đều chẵn

Đặt $x=2x_{1};y=2y_{1};z=2z_{1}$ , thay vào pt ban đầu :

$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+ z_{1}^{2}= 4x_{1}^{2}.x_{2}^{2}$

Lập luận tương tự thì $x_{1},y_{1},z_{1}$ đều chẵn

Một cách tổng quát ta chứng minh được $x,y,z \vdots 2^{k}$ với mọi số tự nhiên k

Suy ra x = y = z = 0

Đó là nghiệm nguyên của pt

Chỗ giả sử x,y đều lẻ của bạn sai rồi. Xét x, y chẵn lẻ thì liên quan gì tới chia 3. VD  $3^{2}\cdot 1^{2}-1^{2}-1^{2}=7$ chia 3 dư 1 !

[Juliel]

Chỗ giả sử x,y đều lẻ của bạn sai rồi. Xét x, y chẵn lẻ thì liên quan gì tới chia 3. VD  $3^{2}\cdot 1^{2}-1^{2}-1^{2}=7$ chia 3 dư 1 !

không, mình vội nên đánh lộn thôi, thay vì mod 4 thì mình ghi lộn thành mod 3

[phanducnhatminh]

không, mình vội nên đánh lộn thôi, thay vì mod 4 thì mình ghi lộn thành mod 3

Ừ, Thế thì phải là $\equiv 3(mod4)$ vì  $x^{2}y^{2},x^{2},y^{2}$ đều chia 4 dư 1.

[phanducnhatminh]

Câu hình đè sai hay sao ý MN đâu có tiếp xúc với (O) ?

[andymurray44]

Đúng mà MN có tiếp xúc,thử cm mà xem.

[cuongcute1234]

Đúng mà MN có tiếp xúc,thử cm mà xem.

Tôi kè hình 6 lần rồi có được đâu

[andymurray44]

Vãi ông,cách chứng minh gần gần giống cái bài mà:Cho hình vuông ABCD.Góc MAN quay quanh A sao cho M thuộc đoạn BC,N thuộc đoạn CD.CMR:MN tiếp xúc đường tròn cố định.

[airisuchan]

Câu III:Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$ .P là điểm nằm trong tam giác.Trung trực CA,CB lần lượt cắt PA tại E,F.Đường thẳng qua E song song AC cắt tiếp tuyến tại C của (O) tại M.Đường thẳng qua F song song AB cắt tiếp tuyến tại B của (O) tại N.

1)CMR: MN tiếp xúc (O)

2) MN cắt đường tròn ngoại tiếp các $\Delta ACM,ABN$ lần lượt tại R và Q.CMR: BR và CQ cắt nhau tại 1 điểm nằm trên (O)

 

Ở đây hình như phải là trung trực CA, AB chứ không phải CA, CB.

[trananh2771998]

Ai giải bài hình đi