Chủ đề này có 1 trả lời

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Xét $f: \mathbb{N}^{+} \to \mathbb{R}$ tăng thoả mãn : 

$f(mn) = f(m) + f(n)$ $\forall m,n \in \mathbb{N}^{+}$

 

Chứng minh rằng tồn tại $a>1$ sao cho : $f(n) \equiv \log_{a}n$

[Idie9xx]

Xét $f: \mathbb{N}^{+} \to \mathbb{R}$ tăng thoả mãn : 

$f(mn) = f(m) + f(n)$ $\forall m,n \in \mathbb{N}^{+}$

 

Chứng minh rằng tồn tại $a>1$ sao cho : $f(n) \equiv \log_{a}n$

Do $n \in \mathbb{N^*}$ nên đặt $g(\ln n)=f(n)$ cũng có $g$ tăng

Dễ có $g(\ln n+\ln m)=g(\ln mn)=g(\ln m)+g(\ln n)$ (cộng tính)

$g$ cộng tính kết hợp là hàm tăng nên $f(n)=g(\ln n)=c \cdot \ln n$ với $c \geq 0$

Chọn $a=e^{\frac{1}{c}}$ thì $a>1$ dễ có $f(n) \equiv \log_{a}n$ (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 15-05-2013 - 19:58