Chủ đề này có 2 trả lời

[trungdung97]

Tìm GTLN của P= $a^{7}+b^{7}+c^{7}$ biết a,b,c thực thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ và $a+b+c=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdung97: 14-05-2013 - 21:05

[Ha Manh Huu]

bài này xả ra dấu = khi nào vậy bạn 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[nthoangcute]

Tìm GTLN của P= $a^{7}+b^{7}+c^{7}$ biết a,b,c thực thõa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ và $a+b+c=0$

 

Bổ đề: Nếu $a+b+c=0$ thì $a^7+b^7+c^7=7abc(ab+bc+ca)^2$
Chứng minh: Quá dễ

Trở lại bài toán:
$$P=7abc(ab+bc+ca)^2=\frac{7}{4}abc((a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2))^2=\frac{7}{4}abc=-\frac{7}{4} sp$$

Do $a+b+c=0$ nên không mất tính tổng quát, $p \leq 0$

Giả thiết $2s^2-2p=1$ suy ra $-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq s \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$
Suy ra $$sp=s(s^2-\frac{1}{2})=\frac{(3s+\sqrt{6})(6s-\sqrt{6})^2}{108}-\frac{\sqrt{6}}{18} \geq -\frac{\sqrt{6}}{18}$$

Suy ra $P \leq \frac{7\sqrt{6}}{72}$